Determinar uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas.
d y=(x-3 y) d x ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx = x - 3y
com condição inicial y(0)=1. Trata-se de uma equação linear de primeira ordem no formato
dydx + 3y = x
Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação no formato padrão
dydx + p(x),y = g(x),
identificando p(x)=3 e g(x)=x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral 3,dx = e^3x
Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
e^3xdydx + 3,e^3xy = x,e^3x,
que é exatamente
ddxl(y,e^3xr) = x,e^3x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^3x = integral x,e^3x,dx + C

Passo 5

Para calcular integral x,e^3xdx, fazemos integração por partes com u=x, dv=e^3xdx:
integral x,e^3xdx = xcdote^3x3 - integral 1cdote^3x3,dx = e^3x3,x - 13integral e^3xdx = e^3x3,x - 13cdote^3x3 = e^3xl(x3-19r)
Logo,
y,e^3x = e^3xl(x3-19r) + C

Passo 6

Isolando y:
y = x3-19 + C,e^-3x
Usamos agora a condição inicial y(0)=1:
1 = y(0) = 03-19 + Ccdot e^0 ;Longrightarrow; 1 = -19 + C ;Longrightarrow; C = 1 + 19 = 109

Resposta

boxedy(x) = x3 - 19 + 109,e^-3x

Exercícios relacionados