Exemplo 7.3. Esboçar o gráfico de
.
O gráfico desta função f não apresenta assíntotas verticais, visto que a função f é contínua em todo o conjunto
, isto é, em todos os pontos de
.
O gráfico desta função f não apresenta assíntotas verticais, visto que a função f é contínua em todo o conjunto
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
O conteúdo envolve: domínio e continuidade, interceptos com eixos, comportamento para
, derivada para estudar monotonia e extremos, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, e finalmente montar o esboço.
Passo 2
Domínio e zeros. A expressão
está bem definida para todo
, logo o domínio é
. Os zeros vêm de
ou de
, isto é,
Passo 3
Comportamento para
. Como
, temos
para grandes
. Logo
Não há assíntotes horizontais nem oblíquas.
Passo 4
Derivada primeira. Usando produto e a regra da raiz de índice
, chega-se a
Resolvendo
obtém-se o ponto crítico
. A derivada não existe em
, indicando tangente vertical nesse ponto (cúspide).
Passo 5
Sinal de
e extremos locais. Note que . Assim:
— Para , temos
e
, logo
(função crescente).
— Para , temos
e
, logo
(função decrescente).
— Para , temos
e
, logo
(função crescente).
— Para
— Para
— Para
Isso mostra máximo local em
, com
e um “mínimo” em
mas com tangente vertical, pois
.
Passo 6
Derivada segunda e inflexão. Calcula-se
Como o denominador é sempre positivo (exceto em
), o sinal de
muda em
, passando de negativo (côncavo para baixo) para positivo (côncavo para cima). O ponto de inflexão é
Passo 7
Resumo para o esboço:
Zeros em
e
.
Cresce até
, onde atinge
.
Desce até
, onde há cúspide e
.
Após
, cresce indefinidamente.
Côncava para baixo até
, côncava para cima depois, com ponto de inflexão em
.
Comportamento extremo:
como
.
Resposta
O esboço exibe:
– Crescimento de até
, cruza o eixo
e segue subindo até o máximo local em
.
– De a
, decresce chegando a uma cúspide em
.
– Para , retoma o crescimento, muda de concavidade em
e dispara para
.
– Crescimento de
– De
– Para