Exemplo 7.3. Esboçar o gráfico de y=f(x)=(x+2) raiz[3](x-3)^2.
O gráfico desta função f não apresenta assíntotas verticais, visto que a função f é contínua em todo o conjunto R, isto é, em todos os pontos de R.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
y = f(x) = (x+2)raiz[3](x-3)^2
O conteúdo envolve: domínio e continuidade, interceptos com eixos, comportamento para xtopminfty, derivada para estudar monotonia e extremos, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, e finalmente montar o esboço.

Passo 2

Domínio e zeros. A expressão raiz[3](x-3)^2 está bem definida para todo xinR, logo o domínio é R. Os zeros vêm de x+2=0 ou de raiz[3](x-3)^2=0, isto é,
x=-2e x=3

Passo 3

Comportamento para xtopminfty. Como raiz[3](x-3)^2sim |x|^2/3, temos
f(x)sim xcdot |x|^2/3=x^5/3
para grandes |x|. Logo
limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=-infty
Não há assíntotes horizontais nem oblíquas.

Passo 4

Derivada primeira. Usando produto e a regra da raiz de índice 3, chega-se a
f'(x)=5,(x-1)3,(x-3)^1/3
Resolvendo f'(x)=0 obtém-se o ponto crítico x=1. A derivada não existe em x=3, indicando tangente vertical nesse ponto (cúspide).

Passo 5

Sinal de e extremos locais. Note que . Assim:
— Para , temos e , logo (função crescente).
— Para , temos e , logo (função decrescente).
— Para , temos e , logo (função crescente).
Isso mostra máximo local em , com
e um “mínimo” em mas com tangente vertical, pois .

Passo 6

Derivada segunda e inflexão. Calcula-se
f''(x)=10,(x-4)9,(x-3)^4/3
Como o denominador é sempre positivo (exceto em x=3), o sinal de f'' muda em x=4, passando de negativo (côncavo para baixo) para positivo (côncavo para cima). O ponto de inflexão é
(4,;f(4))=l(4,,(4+2)raiz[3]1r)=(4,6)

Passo 7

Resumo para o esboço:
bul<=t Zeros em (-2,0) e (3,0).
bul<=t Cresce até x=1, onde atinge l(1,3raiz[3]4r).
bul<=t Desce até x=3, onde há cúspide e f(3)=0.
bul<=t Após 3, cresce indefinidamente.
bul<=t Côncava para baixo até x=4, côncava para cima depois, com ponto de inflexão em (4,6).
bul<=t Comportamento extremo: f(x)topminfty como xtopminfty.

Resposta

O esboço exibe:
– Crescimento de -infty até (-2,0), cruza o eixo x e segue subindo até o máximo local em l(1,3raiz[3]4r).
– De 1 a 3, decresce chegando a uma cúspide em (3,0).
– Para x>3, retoma o crescimento, muda de concavidade em (4,6) e dispara para +infty.

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