Para cada exercício abaixo, use o vetor aceleração a(t) e as condições iniciais fornecidas para determinar o vetor r(t) em t=2.
a(t)=t j+t k, v(1)=5 j, r(1)=0

Passo 1

O enunciado dá o vetor aceleração
a(t)=t,j+t,k
e as condições iniciais
v(1)=5,j e r(1)=0.
O conteúdo é integração de vetores: primeiro vamos achar v(t) integrando a(t), depois achar r(t) integrando v(t), e por fim usar as condições dadas para determinar as constantes de integração e avaliar em t=2.

Passo 2

Integramos componente a componente para obter
v(t)=integral a(t),dt =integral l(0,i+t,j+t,kr)dt =C1,i+l(t^22+C2r)j+l(t^22+C3r)k

Passo 3

Aplicamos v(1)=5,j, ou seja
vi(1)=C1=0, vj(1)=1^22+C2=5, vk(1)=1^22+C3=0
Isso dá
C1=0, C2=5-tfrac12=tfrac92, C3=0-tfrac12=-tfrac12
Logo
v(t)=l(0r)i+l(t^22+92r)j+l(t^22-12r)k

Passo 4

Agora integramos v(t) para obter r(t):
r(t)=integral v(t),dt =D1,i +l(integral tfract^22+tfrac92,dt+D2r)j +l(integral tfract^22-tfrac12,dt+D3r)k
Fazendo as integrais,
rj(t)=t^36+9t2+D2, rk(t)=t^36-t2+D3, ri(t)=D1

Passo 5

Usamos r(1)=0, ou seja
ri(1)=D1=0, rj(1)=16+92+D2=0, rk(1)=16-12+D3=0
Daí
D1=0, D2=-l(tfrac16+tfrac92r)=-tfrac143, D3=-l(tfrac16-tfrac12r)=tfrac13
Assim
r(t) =l(t^36+9t2-143r)j +l(t^36-t2+13r)k

Passo 6

Avaliaremos em t=2:
rj(2)=2^36+9cdot22-143 =86+9-143 =43+9-143 =173,
rk(2)=2^36-22+13 =86-1+13 =43-1+13 =23
O componente i é zero.

Resposta

boxedr(2)=173,j+23,k

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