3{ }^{\text { a }} Questão (15 pontos) - Uma placa circular de 3,0 metros de raio apoiada sobre a superfície de um terreno representa um carregamento uniformemente distribuído de 280 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}.
a) Calcule o acréscimo de tensão gerado no centro da placa em 6 metros de profundidade.

Passo 1

  • O enunciado dá os seguintes dados:
    • Raio da placa circular: a=3{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Carregamento uniformemente distribuído sobre a placa: q=280\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{2}.
    • Profundidade onde se quer o acréscimo de tensão: z=6\\ \mathrm{m}.
  • O que se pede: calcular o acréscimo da tensão vertical no ponto localizado no eixo central da placa, à profundidade z=6\\ \mathrm{m}.
  • Observação: a profundidade 6\\ \mathrm{m} aparece no enunciado e também está indicada na imagem.

Passo 2

  • Fórmula a usar e origem (explicação didática): para uma área circular uniformemente carregada, a solução obtida pela integração da solução de Boussinesq para tensões no meio elástico dá, no eixo central, o acréscimo de tensão vertical
\Delta\sigma_z \;=\; q\left[\,1-\frac{1}{\bigl(1+(a/z)^2\bigr)^{3/2}}\,\right].
  • O que significa cada símbolo:
    • \Delta\sigma_z é o acréscimo da tensão vertical no ponto solicitado (unidade: \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{2}).
    • q é a pressão uniformemente aplicada sobre a placa ( \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{2}).
    • a é o raio da placa (m).
    • z é a profundidade vertical abaixo do centro da placa onde se calcula a tensão (m).
  • Intuição rápida: a expressão dentro dos colchetes é um fator adimensional que vai de 1 (quando z\to0, tensão próxima à superfície igual a q para área ampla) até 0 quando z\to\infty. A fração subtrai a contribuição que “se espalha” com a profundidade.

Passo 3

  • Calcular o termo adimensional (a/z) e seus passos: \frac{a}{z}=\frac{3{,}0}{6}=0{,}5.
\left(\frac{a}{z}\right)^2=0{,}5^2=0{,}25.
1+\left(\frac{a}{z}\right)^2=1+0{,}25=1{,}25.
\bigl(1+(a/z)^2\bigr)^{3/2}=(1{,}25)^{3/2}=1{,}25\cdot\sqrt{1{,}25}.
  • Calcular \sqrt{1{,}25}: \sqrt{1{,}25}\approx1{,}11803.
(1{,}25)^{3/2}\approx1{,}25\times1{,}11803\approx1{,}39754.
\frac{1}{(1+(a/z)^2)^{3/2}}\approx\frac{1}{1{,}39754}\approx0{,}71554.
\text{portanto}\quad 1-\frac{1}{(1+(a/z)^2)^{3/2}}\approx1-0{,}71554=0{,}28446.

Passo 4

  • Aplicar o fator ao carregamento q: \Delta\sigma_z = q\left[1-\frac{1}{(1+(a/z)^2)^{3/2}}\right] \approx 280\times0{,}28446.
    • Multiplicando:
    280\times0{,}28446\approx79{,}647.
    • Arredondando de forma prática para a apresentação típica em geotecnia:
    \Delta\sigma_z\approx79{,}6\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 5

  • Interpretação final rápida e motivadora: o acréscimo de tensão vertical diretamente abaixo do centro da placa, a 6\\ \mathrm{m} de profundidade, é cerca de 80\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{2}. Já dá uma boa ideia se isso é relevante para a resistência ou recalque do solo — e olha só, já vencemos essa parte!

Resposta

79{,}6\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{2}

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