Exemplo: Estude a convergência da sequência dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que eu estude a convergência dela. Vou listar claramente o que o problema fornece e o que é pedido:
- Informação dada: a fórmula geral da sequência é
. - Observação importante sobre domínio: como aparece
, é necessário ter , ou seja, a sequência está definida para (assumindo inteiro positivo). - O que é pedido: determinar se a sequência converge ou diverge e, se converge, encontrar o seu limite. Opcionalmente estudar comportamento (sinal, monotonicidade, limites laterais) para entender melhor a convergência.
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão usando uma propriedade básica do logaritmo natural: para
e
,
Aplicando aqui, para
temos
e
, então
Explicar essa propriedade: o logaritmo transforma produto em soma e divisão em diferença. Ou seja, subtrair logaritmos é o mesmo que o logaritmo do quociente.
Passo 3
Agora vou analisar o sinal de
. Observando a fração dentro do logaritmo:
porque
. Como a função
é crescente e
, isso implica
Portanto a sequência é estritamente positiva e tem o limite inferior
como um candidato natural (isto é,
sempre).
Passo 4
Vou estudar a monotonicidade (se a sequência é crescente ou decrescente). Para isso comparo
e
. Usando a forma de quociente:
Comparo as frações
e
. Faço a comparação por multiplicação em cruz (válida pois denominadores são positivos para
):
Agora expandindo ambos os lados:
Como
para todo
, a desigualdade é verdadeira para
. Portanto
Como
é crescente, aplicando
obtemos
Assim a sequência
é estritamente decrescente.
Explicação do raciocínio: mostrei que a fração dentro do
diminui quando passo de
para
, e como
preserva a ordem, a sequência de
também diminui.
Passo 5
Com o que já tenho: a sequência é positiva (
) e é estritamente decrescente. Uma propriedade importante de sequências (teorema do ponto-limite monótono) diz que toda sequência monótona e limitada converge. Aqui a sequência é decrescente e limitada inferiormente por
, logo ela converge. Vou agora determinar o limite.
Chamo de
o limite:
Uma maneira direta é aplicar exponenciação, que é a função inversa de
. Como
é contínua,
Agora calculo o limite da fração. Divido numerador e denominador por
:
Como
e
quando
, o quociente tende a
Portanto
, o que implica
Também poderia ter usado a continuidade de
diretamente: como a fração tende a
e
é contínua,
da fração tende a
.
Passo 6
Resumo do resultado com interpretação concreta e um comentário encorajador:
- A sequência
está definida para . - Para
tem-se e , ou seja, é estritamente decrescente e limitada inferiormente por . - Pelo teorema da convergência de sequências monótonas limitadas, ela converge.
- Calculando o limite obtém-se
.
Se estiver fazendo prova, uma versão curta que vale é: reescrever como
, notar que a fração tende a
(dividindo por
) e concluir que o logaritmo tende a
. Boa! Você já tem o argumento direto e também a justificativa de monotonicidade caso precisem de mais detalhes.