Exemplo: Estude a convergência da sequência dada por b_{n}=\ln (n+3)-\ln (n-2).

Passo 1

O enunciado dá a sequência \,b_{n}=\ln(n+3)-\ln(n-2)\, e pede que eu estude a convergência dela. Vou listar claramente o que o problema fornece e o que é pedido:
  • Informação dada: a fórmula geral da sequência é \,b_{n}=\ln(n+3)-\ln(n-2)\,.
  • Observação importante sobre domínio: como aparece \ln(n-2), é necessário ter n-2>0, ou seja, a sequência está definida para n\ge 3 (assumindo n inteiro positivo).
  • O que é pedido: determinar se a sequência converge ou diverge e, se converge, encontrar o seu limite. Opcionalmente estudar comportamento (sinal, monotonicidade, limites laterais) para entender melhor a convergência.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão usando uma propriedade básica do logaritmo natural: para a>0 e b>0,
\ln a - \ln b = \ln\!\left(\frac{a}{b}\right).
Aplicando aqui, para n\ge 3 temos n+3>0 e n-2>0, então
b_{n}=\ln\!\left(\frac{n+3}{\,n-2\,}\right).
Explicar essa propriedade: o logaritmo transforma produto em soma e divisão em diferença. Ou seja, subtrair logaritmos é o mesmo que o logaritmo do quociente.

Passo 3

Agora vou analisar o sinal de \,b_n. Observando a fração dentro do logaritmo:
\frac{n+3}{n-2}>1 \quad\text{para }n\ge 3,
porque n+3>n-2. Como a função \ln é crescente e \ln(1)=0, isso implica
b_n=\ln\!\left(\frac{n+3}{n-2}\right)>0 \quad\text{para todo }n\ge 3.
Portanto a sequência é estritamente positiva e tem o limite inferior 0 como um candidato natural (isto é, b_n\ge 0 sempre).

Passo 4

Vou estudar a monotonicidade (se a sequência é crescente ou decrescente). Para isso comparo b_{n+1} e b_n. Usando a forma de quociente:
b_{n+1}=\ln\!\left(\frac{n+4}{n-1}\right),\qquad b_n=\ln\!\left(\frac{n+3}{n-2}\right).
Comparo as frações \dfrac{n+4}{n-1} e \dfrac{n+3}{n-2}. Faço a comparação por multiplicação em cruz (válida pois denominadores são positivos para n\ge 3):
\frac{n+4}{n-1} < \frac{n+3}{n-2} \quad\Longleftrightarrow\quad (n+4)(n-2) < (n+3)(n-1).
Agora expandindo ambos os lados:
(n+4)(n-2)=n^2+2n-8,\qquad (n+3)(n-1)=n^2+2n-3.
Como n^2+2n-8 < n^2+2n-3 para todo n, a desigualdade é verdadeira para n\ge 3. Portanto
\frac{n+4}{n-1} < \frac{n+3}{n-2}.
Como \ln é crescente, aplicando \ln obtemos
b_{n+1}=\ln\!\left(\frac{n+4}{n-1}\right) < \ln\!\left(\frac{n+3}{n-2}\right)=b_n.
Assim a sequência (b_n)_{n\ge3} é estritamente decrescente.
Explicação do raciocínio: mostrei que a fração dentro do \ln diminui quando passo de n para n+1, e como \ln preserva a ordem, a sequência de \ln também diminui.

Passo 5

Com o que já tenho: a sequência é positiva ( b_n>0) e é estritamente decrescente. Uma propriedade importante de sequências (teorema do ponto-limite monótono) diz que toda sequência monótona e limitada converge. Aqui a sequência é decrescente e limitada inferiormente por 0, logo ela converge. Vou agora determinar o limite.
Chamo de L o limite:
L=\lim_{n\to\infty} b_n.
Uma maneira direta é aplicar exponenciação, que é a função inversa de \ln. Como \exp é contínua,
\exp(L)=\lim_{n\to\infty} \exp(b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{n-2}.
Agora calculo o limite da fração. Divido numerador e denominador por n:
\frac{n+3}{n-2}=\frac{1+\tfrac{3}{n}}{1-\tfrac{2}{n}}.
Como \tfrac{3}{n}\to 0 e \tfrac{2}{n}\to 0 quando n\to\infty, o quociente tende a
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{3}{n}}{1-\tfrac{2}{n}}=\frac{1+0}{1-0}=1.
Portanto \exp(L)=1, o que implica
L=\ln(1)=0.
Também poderia ter usado a continuidade de \ln diretamente: como a fração tende a 1 e \ln é contínua, \ln da fração tende a \ln 1=0.

Passo 6

Resumo do resultado com interpretação concreta e um comentário encorajador:
  • A sequência \,b_n=\ln(n+3)-\ln(n-2)=\ln\!\bigl((n+3)/(n-2)\bigr)\, está definida para n\ge 3.
  • Para n\ge 3 tem-se b_n>0 e b_{n+1}<b_n, ou seja, é estritamente decrescente e limitada inferiormente por 0.
  • Pelo teorema da convergência de sequências monótonas limitadas, ela converge.
  • Calculando o limite obtém-se \lim_{n\to\infty} b_n=0.
Se estiver fazendo prova, uma versão curta que vale é: reescrever como \ln\bigl((n+3)/(n-2)\bigr), notar que a fração tende a 1 (dividindo por n) e concluir que o logaritmo tende a \ln 1=0. Boa! Você já tem o argumento direto e também a justificativa de monotonicidade caso precisem de mais detalhes.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = 0

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