Para este exercício, usaremos o Teorema do Confronto. Note que
\begin{gathered} a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{n \cdot n \cdot n \cdot \ldots \cdot n} \\\ a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}=\frac{1}{n}\left(\frac{2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}\right) \leq \frac{1}{n} \end{gathered}
Assim,
0<a_{n} \leq \frac{1}{n}
Exemplo: Estude a convergência da sequência \left\{\frac{n!}{n^{n}}\right\}, em que n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dada a sequência \left\{a_{n}\right\} com
a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}.
  • n! significa 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
  • A pergunta: estudar a convergência da sequência e, se convergir, encontrar o limite \lim_{n\to\infty}a_{n}.

Passo 2

Reescrevendo a_{n} como um produto de frações iguais em denominador: \n
a_{n}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{n\cdot n\cdot n\cdots n}=\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}.
Explicação didática: cada fator na fração original tem denominador n, então a divisão termo a termo dá a expressão acima. Isso torna mais fácil comparar cada fator com 1.

Passo 3

Comparação dos fatores para obter uma desigualdade simples:\n
Para todo k com 1\le k\le n vale \dfrac{k}{n}\le 1, porque k\le n. Portanto, ao formar o produto,
\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\le \frac{1}{n}\cdot 1\cdot 1\cdots 1=\frac{1}{n}.
Detalhe passo a passo: o primeiro fator é \dfrac{1}{n}, os fatores seguintes \dfrac{2}{n},\dfrac{3}{n},\dots,\dfrac{n}{n} são todos \le 1. Multiplicar por números \le 1 não aumenta o produto, então o produto inteiro fica no máximo \dfrac{1}{n}.

Passo 4

Observação sobre positividade e a desigualdade final:\n
Como todos os fatores \dfrac{k}{n} são positivos, tem-se a_{n}>0. Com o item anterior obtemos
0< a_{n}\le \frac{1}{n}\quad\text{para todo \(n\).}

Passo 5

Comportamento do termo superior \dfrac{1}{n}:\n
É conhecido (e fácil de ver) que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,
porque o denominador cresce sem limite e o recíproco tende a zero. Explicando: para qualquer \varepsilon>0 existe N tal que para n\ge N tem-se \dfrac{1}{n}<\varepsilon.

Passo 6

Enunciado e uso do Teorema do Confronto (Squeeze theorem):\n
O Teorema do Confronto diz: se duas sequências b_{n} e c_{n} satisfazem b_{n}\le a_{n}\le c_{n} para todo n grande o suficiente e \lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}=L, então \lim_{n\to\infty}a_{n}=L. Aqui podemos escolher b_{n}=0 e c_{n}=\dfrac{1}{n}. Como vimos, 0\le a_{n}\le\dfrac{1}{n} e \lim_{n\to\infty}0=0, \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0. Pelo Teorema do Confronto, segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Breve intuição: a_{n} fica “espremido” entre 0 e algo que vai a 0, então ele também tem que ir a 0.

Passo 7

Checando com alguns valores numéricos para ganhar intuição (opcional, mas útil):\n
a_{1}=\frac{1}{1}=1,\qquad a_{2}=\frac{2}{2^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5,
a_{3}=\frac{6}{27}\approx 0{,}222\ldots,\qquad a_{4}=\frac{24}{256}=0{,}09375,
esses valores já mostram decrescimento rápido para zero, consistente com a conclusão teórica.

Resposta

\;0

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