Para este exercício, usaremos o Teorema do Confronto. Note que
Assim,
Exemplo: Estude a convergência da sequência
, em que
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- Dada a sequência
com
-
significa . - A pergunta: estudar a convergência da sequência e, se convergir, encontrar o limite
.
Passo 2
Reescrevendo
como um produto de frações iguais em denominador: \n
Explicação didática: cada fator na fração original tem denominador
, então a divisão termo a termo dá a expressão acima. Isso torna mais fácil comparar cada fator com
.
Passo 3
Comparação dos fatores para obter uma desigualdade simples:\n
Para todo com
vale
, porque
. Portanto, ao formar o produto,
Para todo
Detalhe passo a passo: o primeiro fator é
, os fatores seguintes
são todos
. Multiplicar por números
não aumenta o produto, então o produto inteiro fica no máximo
.
Passo 4
Observação sobre positividade e a desigualdade final:\n
Como todos os fatores são positivos, tem-se
. Com o item anterior obtemos
Como todos os fatores
Passo 5
Comportamento do termo superior
:\n
É conhecido (e fácil de ver) que
É conhecido (e fácil de ver) que
porque o denominador cresce sem limite e o recíproco tende a zero. Explicando: para qualquer
existe
tal que para
tem-se
.
Passo 6
Enunciado e uso do Teorema do Confronto (Squeeze theorem):\n
O Teorema do Confronto diz: se duas sequências e
satisfazem
para todo
grande o suficiente e
, então
. Aqui podemos escolher
e
. Como vimos,
e
,
. Pelo Teorema do Confronto, segue que
O Teorema do Confronto diz: se duas sequências
Breve intuição:
fica “espremido” entre
e algo que vai a
, então ele também tem que ir a
.
Passo 7
Checando com alguns valores numéricos para ganhar intuição (opcional, mas útil):\n
esses valores já mostram decrescimento rápido para zero, consistente com a conclusão teórica.