Êxemplo: Estude a convergência da sequência definida recursivamente por
Passo 1
O enunciado dá a sequência definida recursivamente pelos termos iniciais e regra:
O que é pedido: estudar a convergência da sequência — isto é, decidir se
converge e, em caso afirmativo, determinar o seu limite.
Passo 2
Vamos escolher um plano de ataque simples e seguro (aquele que dá resultado na prova):
- Primeiro tento identificar um possível valor limite resolvendo a equação de ponto fixo (substituir o limite por
na relação de recorrência). - Depois mostro que a sequência é monotônica e limitada, o que garante convergência.
- Por fim, confirmo que o limite coincide com o ponto fixo encontrado.
Esse método é direto e usa ideias elementares que dão uma demonstração completa sem cálculo difícil.
Passo 3
Procurar o possível limite
. Se
, tomando limite na relação recursiva deve valer
Resolver para
: multiplicando por
,
Portanto o candidato a limite é
.
Passo 4
Provar que a sequência é limitada superiormente por
. Vou mostrar por indução que
Base:
. Hipótese indutiva: suponha
. Então
Logo
. Assim, por indução, todos os termos satisfazem
; portanto a sequência é limitada superiormente por
.
Passo 5
Provar que a sequência é crescente (monótona crescente). Calcule a diferença entre termos consecutivos:
Pela Passo 4 sabemos que
para todo
, logo
e assim
Portanto
para todo
, ou seja, a sequência é estritamente crescente.
Passo 6
Concluir a convergência usando monotonia mais limite. Como
é crescente e tem limite superior
, pelo teorema do monotone convergence (uma sequência monótona e limitada converge) a sequência converge. Denote o limite por
. Tomando limite na relação recursiva temos, como em Passo 3,
que implica
. Assim a sequência converge e o seu limite é
.
Passo 7
(Exposição alternativa e informação útil para a prova) Mostrar fórmula explícita e taxa de convergência. Defina
. Da recorrência:
Logo
. Como
, obtemos
Portanto
Dessa fórmula explícita fica claro que
geometricamente com razão
(o erro
decai como
).
Passo 8
Recapitulando (e um empurrão amigo): mostramos que
para todo
e que
, então a sequência é crescente e limitada, daí converge. O candidato
obtido por ponto fixo coincide com o limite. Se quiser decorar um padrão útil: para recorrências lineares do tipo
com
, o limite é
e o método acima funciona igual.