Êxemplo: Estude a convergência da sequência definida recursivamente por
a_{1}=2, \quad a_{n+1}=\frac{6+a_{n}}{2}, n \geq 1

Passo 1

O enunciado dá a sequência definida recursivamente pelos termos iniciais e regra:
a_{1}=2,\qquad a_{n+1}=\frac{6+a_{n}}{2},\quad n\ge 1.
O que é pedido: estudar a convergência da sequência — isto é, decidir se (a_n) converge e, em caso afirmativo, determinar o seu limite.

Passo 2

Vamos escolher um plano de ataque simples e seguro (aquele que dá resultado na prova):
  • Primeiro tento identificar um possível valor limite resolvendo a equação de ponto fixo (substituir o limite por L na relação de recorrência).
  • Depois mostro que a sequência é monotônica e limitada, o que garante convergência.
  • Por fim, confirmo que o limite coincide com o ponto fixo encontrado.
    Esse método é direto e usa ideias elementares que dão uma demonstração completa sem cálculo difícil.

Passo 3

Procurar o possível limite L. Se a_n\to L, tomando limite na relação recursiva deve valer
L=\frac{6+L}{2}.
Resolver para L: multiplicando por 2,
2L=6+L\quad\Rightarrow\quad L=6.
Portanto o candidato a limite é L=6.

Passo 4

Provar que a sequência é limitada superiormente por 6. Vou mostrar por indução que
a_n<6\quad\text{para todo }n\ge1.
Base: a_1=2<6. Hipótese indutiva: suponha a_n<6. Então
a_{n+1}=\frac{6+a_n}{2}<\frac{6+6}{2}=6.
Logo a_{n+1}<6. Assim, por indução, todos os termos satisfazem a_n<6; portanto a sequência é limitada superiormente por 6.

Passo 5

Provar que a sequência é crescente (monótona crescente). Calcule a diferença entre termos consecutivos:
a_{n+1}-a_n=\frac{6+a_n}{2}-a_n=\frac{6-a_n}{2}.
Pela Passo 4 sabemos que a_n<6 para todo n, logo 6-a_n>0 e assim
a_{n+1}-a_n>0.
Portanto a_{n+1}>a_n para todo n, ou seja, a sequência é estritamente crescente.

Passo 6

Concluir a convergência usando monotonia mais limite. Como (a_n) é crescente e tem limite superior 6, pelo teorema do monotone convergence (uma sequência monótona e limitada converge) a sequência converge. Denote o limite por \ell. Tomando limite na relação recursiva temos, como em Passo 3,
\ell=\frac{6+\ell}{2},
que implica \ell=6. Assim a sequência converge e o seu limite é 6.

Passo 7

(Exposição alternativa e informação útil para a prova) Mostrar fórmula explícita e taxa de convergência. Defina b_n=a_n-6. Da recorrência:
b_{n+1}=a_{n+1}-6=\frac{6+a_n}{2}-6=\frac{a_n-6}{2}=\frac{b_n}{2}.
Logo b_n=(1/2)^{\,n-1}b_1. Como b_1=a_1-6=2-6=-4, obtemos
b_n=-4\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}.
Portanto
a_n=6-4\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}.
Dessa fórmula explícita fica claro que a_n\to6 geometricamente com razão \tfrac{1}{2} (o erro 6-a_n decai como 4\cdot 2^{-(n-1)}).

Passo 8

Recapitulando (e um empurrão amigo): mostramos que a_n<6 para todo n e que a_{n+1}>a_n, então a sequência é crescente e limitada, daí converge. O candidato L obtido por ponto fixo coincide com o limite. Se quiser decorar um padrão útil: para recorrências lineares do tipo a_{n+1}=\alpha a_n+\beta com |\alpha|<1, o limite é \beta/(1-\alpha) e o método acima funciona igual.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=6

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