\lim _{n \rightarrow \infty} r^{n}=\left\{\begin{array}{cc} 0, & \text { se }-1<r<1 \\\\ 1, & \text { se } r=1 \\\ \text { diverge, } & \text { se } r \leq-1 \text { ou } r>1 \end{array}\right.
Exemplo: Para que valores de n a sequência \left\{r^{n}\right\} é convergente?
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência \{r^{n}\} onde r é um número real fixo e n é um inteiro positivo que cresce. A pergunta é: para que valores de r a sequência \{r^{n}\} é convergente?
Informações relevantes que temos (explicitadas a partir do enunciado):
A sequência é \{r^{1},r^{2},r^{3},\dots\}.
Deve-se analisar todos os possíveis valores reais de r (negativos, zero, positivos).
Queremos saber quando existe um limite finito \lim_{n\to\infty} r^{n}.
Passo 2
Caso |r|<1 (ou seja, -1<r<1). Vou mostrar que então \lim_{n\to\infty} r^{n}=0.
Explicação do raciocínio usado: se |r|<1 então a potência das magnitudes fica cada vez menor. Uma forma simples e rigorosa é trabalhar com q=|r|, com 0\le q<1, e usar logaritmos para ver que q^{n} tende a zero. Detalhes: como 0\le q<1 temos \ln q<0. Então
q^{n}=e^{n\ln q}.
Como \ln q<0, n\ln q\to -\infty quando n\to\infty, logo e^{n\ln q}\to 0. Portanto |r|^{n}\to 0.
Agora, se |r|^{n}\to 0 então r^{n}\to 0 (porque valor absoluto tende a zero implica a própria sequência tende a zero).
Rascunho de prova \varepsilon-N simples (para treinar o tipo de justificativa pedida na prova): dado \varepsilon>0, como \ln q<0 existe N tal que N>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln q} (note que \ln\varepsilon<0 para \varepsilon<1 e \ln q<0, a divisão faz sentido). Para n\ge N tem-se q^{n}=e^{n\ln q}\le e^{N\ln q}<\varepsilon. Assim q^{n}\to0.
Conclusão deste caso: se -1<r<1 então \lim_{n\to\infty} r^{n}=0.
Passo 3
Caso r=1. A sequência é \{1,1,1,\dots\}. Obviamente ela converge e o limite é
\lim_{n\to\infty} 1^{n}=1.
Isso é trivial: toda sequência constante igual a 1 tem limite 1.
Passo 4
Caso r=0. Embora este caso já esteja incluído em -1<r<1, vale enfatizar: a sequência é \{0,0,0,\dots\} e converge para 0.
Passo 5
Caso r=-1. A sequência é \{(-1)^{n}\}=\{-1,1,-1,1,\dots\}. Essa sequência oscila entre -1 e 1 e não se aproxima de um único número; logo não tem limite. Formalmente, os dois limites das subsequências pares e ímpares são diferentes (1 e -1), então a sequência não converge. Conclusão: diverge.
Passo 6
Caso r>1. Aqui \ln r>0, então
r^{n}=e^{n\ln r}\to +\infty
quando n\to\infty. Em palavras: r^{n} cresce sem limite (é monotonicamente crescente e não limitada), portanto não converge para um número finito — diverge (tende ao infinito). Outra maneira prática para a prova: dado qualquer M>0 existe N tal que para n\ge N tem r^{n}>M; isso mostra divergência para +\infty.
Passo 7
Caso r<-1. Então |r|>1. A magnitude |r|^{n} tende a +\infty (pelo mesmo argumento do caso anterior com |r|), mas os sinais alternam porque r^{n}=(-1)^{n}|r|^{n}. Assim as subsequências de índices pares e ímpares têm comportamentos com sinais opostos e ambos em magnitude crescem para +\infty e -\infty. Portanto não existe um limite finito — a sequência diverge (e nem sequer tende a +\infty ou -\infty de forma consistente, pois alterna sinal).
Passo 8
Síntese e interpretação prática para a prova (resumo curto que serve como “cola mental”):
Se |r|<1 então r^{n}\to 0.
Se r=1 então r^{n}\to 1.
Se r=-1 a sequência oscila e diverge.
Se |r|>1 a sequência diverge (para r>1 vai a +\infty; para r<-1 tem magnitude indo a +\infty com sinais alternados).
Resposta
A sequência \{r^{n}\} converge se, e somente se, -1<r\le 1.
Se -1<r<1 então \displaystyle\lim_{n\to\infty} r^{n}=0.
Se r=1 então \displaystyle\lim_{n\to\infty} r^{n}=1.