Deseja-se secar 100,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de um vegetal que contém 85,0 \% de umidade em um secador, no qual entra ar quente com umidade de 0,010 \mathrm{~kg} de água/kg de ar seco, e saindo do secador com umidade de 0,040 \mathrm{~kg} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} / \mathrm{kg} de ar seco. A vazão do ar seco é 2500,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}.
Calcule:
a) a produção horária de produto seco; b) a umidade do produto seco.

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Vazão de vegetal úmido: } \dot m_{\text{veg,úmido}} = 100,0\\ \mathrm{kg/h}.\\\ &\text{Umidade inicial do vegetal (base úmida): } X_{i}=85{,}0\\ \%.\\\ &\text{Vazão de ar seco: } \dot m_{\text{ar seco}} = 2500,0\\ \mathrm{kg/h}.\\\ &\text{Umidade do ar na entrada: } Y_{\text{in}} = 0{,}010\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ ar\\ seco}.\\\ &\text{Umidade do ar na saída: } Y_{\text{out}} = 0{,}040\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ ar\\ seco}. \end{aligned}ãúúúãí
Perguntas do enunciado:
a) Calcular a produção horária de produto seco.
b) Calcular a umidade do produto seco (final).
Observação importante (interpretação usada): quando o enunciado diz "umidade 85{,}0\%" vamos interpretar como porcentagem em base úmida (ou seja, massa de água dividida pela massa total do vegetal úmido), que é a interpretação usual nesse tipo de problema.

Passo 2

Princípio físico e estratégia (o que vamos usar, sem começar a calcular ainda).
Vamos aplicar balanços de massa. Existem duas quantidades conservadas relevantes aqui:
  1. A massa de sólidos secos do vegetal: não se perde no processo de secagem (assumimos que só água sai).
  2. A massa de água: a água removida do vegetal é igual à água absorvida pelo ar (diferença entre saída e entrada do ar).
Então a estratégia será:
  • Calcular quanta água foi retirada do vegetal por hora a partir do ganho de água do ar.
  • Calcular a massa de água inicial no vegetal e a massa de água final após a remoção.
  • Determinar a massa de sólidos secos (que é a produção horária de produto seco).
  • Calcular a umidade final do produto a partir das massas de água e de sólidos secos remanescentes.

Passo 3

Cálculo da água retirada do vegetal usando o ar (balanço de água no ar).
A água absorvida pelo ar por unidade de tempo é a vazão de ar seco multiplicada pela diferença de umidade absoluta entre saída e entrada:
\Delta Y = Y_{\text{out}} - Y_{\text{in}} = 0{,}040 - 0{,}010 = 0{,}030\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ ar\\ seco}.
A água removida por hora (isto é, transferida do vegetal para o ar) é
\dot m_{\text{água removida}} = \dot m_{\text{ar seco}} \cdot \Delta Y.á
Agora substituímos os valores (tudo em math):
\dot m_{\text{água removida}} = 2500,0 \cdot 0{,}030 = 75{,}0\\ \mathrm{kg/h}.á
Explicação didática curta: isso significa que, a cada quilograma de ar seco que passa, ele carrega 0{,}030\\ \mathrm{kg} adicionais de água; com 2500{,}0\\ \mathrm{kg/h} de ar seco isso dá 75{,}0\\ \mathrm{kg/h} de água retirada do vegetal.

Passo 4

Cálculo da massa de água inicial no vegetal e da massa de sólidos secos.
A umidade inicial X_{i}=85{,}0\% em base úmida significa:
X_{i}=\frac{m_{\text{água, inicial}}}{m_{\text{total, inicial}}}.á
Portanto a massa de água inicial no vegetal é
m_{\text{água, inicial}} = X_{i} \cdot \dot m_{\text{veg,úmido}} = 0{,}85 \cdot 100{,}0 = 85{,}0\\ \mathrm{kg/h}.áú
A massa de sólidos secos (que não se perde) é a massa total menos a água inicial:
\dot m_{\text{seco}} = \dot m_{\text{veg,úmido}} - m_{\text{água, inicial}} = 100{,}0 - 85{,}0 = 15{,}0\\ \mathrm{kg/h}.úá
Didática: a massa de sólidos secos é o que chamamos de “produto seco” — isso é o que permanece após remover toda a água. Em secagem, essa massa é conservada, então a produção horária de produto seco será exatamente este valor, salvo perdas físicas (que não são mencionadas no enunciado).

Passo 5

Cálculo da massa de água final no produto e da massa do produto seco final (produto úmido após secagem).
A água removida do vegetal por hora foi calculada em 75{,}0\\ \mathrm{kg/h}. Assim a água que resta no produto final é
m_{\text{água, final}} = m_{\text{água, inicial}} - \dot m_{\text{água removida}} = 85{,}0 - 75{,}0 = 10{,}0\\ \mathrm{kg/h}.ááá
A massa total do produto seco (produto após secagem, que ainda contém alguma água) por hora é a soma dos sólidos secos mais a água final:
\dot m_{\text{produto final}} = \dot m_{\text{seco}} + m_{\text{água, final}} = 15{,}0 + 10{,}0 = 25{,}0\\ \mathrm{kg/h}.á
Didática: aqui “produto final” é o vegetal após secagem — tem menos água que o inicial, mas ainda contém água. A massa de sólidos secos não mudou (15,0 kg/h).

Passo 6

Cálculo da umidade final do produto (formas usuais de expressar umidade).
Existem duas formas comuns de expressar umidade:
  1. Base úmida (percentual sobre a massa total do produto): X_{\text{final, úmida}} = \dfrac{m_{\text{água, final}}}{m_{\text{total, final}}}úá.
  2. Base seca (kg de água por kg de sólido seco): X_{\text{final, seca}} = \dfrac{m_{\text{água, final}}}{\dot m_{\text{seco}}}á.
Calculamos cada uma:
Forma em base úmida:
X_{\text{final, úmida}} = \frac{10{,}0}{25{,}0} = 0{,}40 = 40{,}0\\ \%.ú
Forma em base seca:
X_{\text{final, seca}} = \frac{10{,}0}{15{,}0} \approx 0{,}6667\\ \frac{\mathrm{kg\\ H_{2}O}}{\mathrm{kg\\ seco}}.
Explicação didática: 40{,}0\% em base úmida quer dizer que, do produto final que pesa 25{,}0\\ \mathrm{kg}, 10{,}0\\ \mathrm{kg} é água. Em base seca, há 0{,}6667\\ \mathrm{kg} de água para cada 1\\ \mathrm{kg} de sólido seco.

Passo 7

Resumo final dos resultados numéricos (já calculados e interpretados).
  • Produção horária de produto seco (massa de sólidos secos): \dot m_{\text{seco}} = 15{,}0\\ \mathrm{kg/h}.
  • Umidade do produto seco (forma usual em base úmida): 40{,}0\\ \%.
  • (Opcionalmente útil) Umidade em base seca: 0{,}6667\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ seco} (ou 66{,}67\\ \% em relação à massa seca).

Resposta

a) 15{,}0\\ \mathrm{kg/h}
b) 40{,}0\\ \% (equivalente a 0{,}6667\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ seco})

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