Exemplo extra: 1) ( \mathrm{Q},+ ) os números racionais é grupo ?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto dos números racionais \mathbb{Q} com a operação de adição + e pergunta: “( \mathbb{Q}, +) é um grupo?”
Informações dadas:
  • O conjunto considerado é \mathbb{Q} (todos os números racionais).
  • A operação considerada é a adição, denotada por +.
    O que precisa ser respondido: decidir se (\mathbb{Q},+) satisfaz as propriedades que tornam uma estrutura algebraica um grupo.

Passo 2

O que significa ser um grupo (explicação didática):
Uma estrutura (G,\star) é um grupo se satisfaz quatro propriedades (axiomas). Vou descrever cada uma bem devagar, como se estivéssemos anotando na prova:
  1. Fechamento: para quaisquer x,y\in G, o elemento x\star y também pertence a G.
  2. Associatividade: para quaisquer x,y,z\in G, vale (x\star y)\star z = x\star (y\star z).
  3. Elemento neutro (identidade): existe um elemento e\in G tal que para todo x\in G, x\star e = e\star x = x.
  4. Inversos: para cada x\in G existe x^{-1}\in G tal que x\star x^{-1} = x^{-1}\star x = e.
    Se a operação também é comutativa ( x\star y = y\star x para todos), o grupo é chamado abeliano (ou comutativo).
Agora vamos verificar, um a um, esses itens para (\mathbb{Q},+). Vou fazer cada verificação com contas explícitas, usando frações genéricas.

Passo 3

Verificação da fechamento (detalhada):
Tome x,y\in\mathbb{Q}. Posso escrever x=\dfrac{a}{b} e y=\dfrac{c}{d}, onde a,b,c,d são inteiros e b\neq0, d\neq0. Então
x+y=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}.
Aqui ad+bc é um inteiro e bd é um inteiro não nulo, logo \dfrac{ad+bc}{bd} é uma fração de inteiros com denominador não nulo — isto é, é um número racional. Portanto x+y\in\mathbb{Q}. Conclusão: a adição fecha em \mathbb{Q}.

Passo 4

Verificação da associatividade (com prova explícita):
Pegue x,y,z\in\mathbb{Q} e escreva x=\dfrac{a}{b}, y=\dfrac{c}{d}, z=\dfrac{e}{f} com b,d,f\neq0. Calcule primeiro (x+y)+z:
x+y=\frac{ad+bc}{bd},
(x+y)+z=\frac{ad+bc}{bd}+\frac{e}{f}=\frac{(ad+bc)f+ebd}{bdf}=\frac{adf+bcf+ebd}{bdf}.
Agora calcule x+(y+z):
y+z=\frac{cf+de}{df},
x+(y+z)=\frac{a}{b}+\frac{cf+de}{df}=\frac{adf+b(cf+de)}{bdf}=\frac{adf+bcf+bde}{bdf}.
Repare que ebd=bde (multiplicação de inteiros é comutativa), então os numeradores coincidem:
adf+bcf+ebd = adf+bcf+bde.
Portanto (x+y)+z = x+(y+z). Isso demonstra associatividade da adição em \mathbb{Q}. (Na prática, pode-se lembrar que a adição é associativa nos inteiros e esta propriedade passa para as frações, mas aqui mostramos com frações genéricas.)

Passo 5

Verificação do elemento neutro (identidade):
O candidato natural para o elemento neutro da adição é 0. Observe que 0\in\mathbb{Q} (pode ser escrito como \dfrac{0}{1}). Para qualquer x\in\mathbb{Q},
x+0 = x \quad\text{e}\quad 0+x = x.
Logo 0 é o elemento neutro da adição em \mathbb{Q}.

Passo 6

Verificação da existência de inversos:
Tome x\in\mathbb{Q} e escreva x=\dfrac{a}{b} com b\neq0. O candidato a inverso aditivo é -x=-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}. Note que \dfrac{-a}{b}\in\mathbb{Q} e
x+(-x)=\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0.
Assim, todo racional tem inverso aditivo que também é racional. Conclusão: inversos existem em \mathbb{Q}.

Passo 7

Conclusão sobre os axiomas do grupo:
Já mostramos fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos. Portanto (\mathbb{Q},+) satisfaz todos os axiomas de grupo, ou seja, é um grupo. Além disso, a adição é comutativa: para x=\dfrac{a}{b} e y=\dfrac{c}{d},
x+y=\frac{ad+bc}{bd}=\frac{cb+da}{db}=y+x,
pois a adição e multiplicação de inteiros são comutativas; logo o grupo é abeliano.

Passo 8

Observações finais e dica para prova (como lembrar rapidamente):
  • Em prova, basta mencionar: (i) soma de racionais é racional (fechamento); (ii) adição é associativa (herdada da adição nos inteiros/reais ou mostrar com frações); (iii) 0\in\mathbb{Q} é identidade; (iv) para x o inverso é -x\in\mathbb{Q}. Esses quatro pontos encerram a demonstração.
  • É útil lembrar que (\mathbb{Q},+) é um exemplo clássico de grupo abeliano infinito — decorre direto das propriedades da adição de números.

Resposta

Sim. (\mathbb{Q},+) é um grupo abeliano.

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