Exemplo extra: 1) (
) os números racionais é grupo ?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto dos números racionais
com a operação de adição
e pergunta: “(
,
) é um grupo?”
Informações dadas:
Informações dadas:
- O conjunto considerado é
(todos os números racionais). - A operação considerada é a adição, denotada por
.
O que precisa ser respondido: decidir sesatisfaz as propriedades que tornam uma estrutura algebraica um grupo.
Passo 2
O que significa ser um grupo (explicação didática):
Uma estrutura é um grupo se satisfaz quatro propriedades (axiomas). Vou descrever cada uma bem devagar, como se estivéssemos anotando na prova:
Uma estrutura
- Fechamento: para quaisquer
, o elemento também pertence a . - Associatividade: para quaisquer
, vale . - Elemento neutro (identidade): existe um elemento
tal que para todo , . - Inversos: para cada
existe tal que .
Se a operação também é comutativa (para todos), o grupo é chamado abeliano (ou comutativo).
Agora vamos verificar, um a um, esses itens para
. Vou fazer cada verificação com contas explícitas, usando frações genéricas.
Passo 3
Verificação da fechamento (detalhada):
Tome . Posso escrever
e
, onde
são inteiros e
,
. Então
Tome
Aqui
é um inteiro e
é um inteiro não nulo, logo
é uma fração de inteiros com denominador não nulo — isto é, é um número racional. Portanto
. Conclusão: a adição fecha em
.
Passo 4
Verificação da associatividade (com prova explícita):
Pegue e escreva
,
,
com
. Calcule primeiro
:
Pegue
Agora calcule
:
Repare que
(multiplicação de inteiros é comutativa), então os numeradores coincidem:
Portanto
. Isso demonstra associatividade da adição em
. (Na prática, pode-se lembrar que a adição é associativa nos inteiros e esta propriedade passa para as frações, mas aqui mostramos com frações genéricas.)
Passo 5
Verificação do elemento neutro (identidade):
O candidato natural para o elemento neutro da adição é . Observe que
(pode ser escrito como
). Para qualquer
,
O candidato natural para o elemento neutro da adição é
Logo
é o elemento neutro da adição em
.
Passo 6
Verificação da existência de inversos:
Tome e escreva
com
. O candidato a inverso aditivo é
. Note que
e
Tome
Assim, todo racional tem inverso aditivo que também é racional. Conclusão: inversos existem em
.
Passo 7
Conclusão sobre os axiomas do grupo:
Já mostramos fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos. Portanto satisfaz todos os axiomas de grupo, ou seja, é um grupo. Além disso, a adição é comutativa: para
e
,
Já mostramos fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos. Portanto
pois a adição e multiplicação de inteiros são comutativas; logo o grupo é abeliano.
Passo 8
Observações finais e dica para prova (como lembrar rapidamente):
- Em prova, basta mencionar: (i) soma de racionais é racional (fechamento); (ii) adição é associativa (herdada da adição nos inteiros/reais ou mostrar com frações); (iii)
é identidade; (iv) para o inverso é . Esses quatro pontos encerram a demonstração. - É útil lembrar que
é um exemplo clássico de grupo abeliano infinito — decorre direto das propriedades da adição de números.
Resposta
Sim.
é um grupo abeliano.