Exemplo 1.0.4. Se f(x, y)=\frac{1}{x-y}, então D_{f}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \neq y\right\}.

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{1}{x-y}
e pede que a gente encontre o domínio D_{f}, ou seja, o conjunto de todos os pares (x,y) em \mathbb{R}^2 para os quais a expressão faz sentido.

Passo 2

Para que a fração
\frac{1}{x-y}
esteja bem definida, o denominador não pode ser zero. Logo, devemos exigir
x - y \neq 0
o que equivale exatamente a
x \neq y.

Passo 3

Geometricamente, a condição x\neq y significa que não podemos estar sobre a reta x=y no plano (x,y). Se imaginarmos o plano cartesiano, é como se riscássemos a linha inclinada de 45° (a reta tracejada do enunciado): todos os pontos dessa reta estão fora do domínio.

Resposta

D_{f} = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x \neq y\bigr\}.

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