Exercício 3) Estude a existência dos seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=\frac{x^{2}\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo aqui é o uso do Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para limites em várias variáveis, aproveitando a desigualdade \ln(1+t)\le t para t\ge0.

Passo 2

Como x^{2}+y^{2}\ge0, temos para t=x^{2}+y^{2} que
0\le \ln\bigl(1+t\bigr)\le t.
Multiplicando essa desigualdade por \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\ge0, obtemos
0 \;\le\; \frac{x^{2}\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}} \;\le\; \frac{x^{2}\,(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}} = x^{2}.
Como \lim_{(x,y)\to(0,0)}x^{2}=0, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}=0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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