Exemplo 7: Uma fábrica de componentes metálicos realiza inspeções de qualidade nos três turnos do dia: manhã, tarde e noite. A distribuição da produção e os desempenhos variam por turno:
  • 30 % das peças são produzidas no turno da manhã, com 98 % de aprovação nos testes de qualidade;
  • 45% das peças são produzidas no turno da tarde, com 95% de aprovação;
  • 25 % das peças são produzidas no turno da noite, com 90 % de aprovação.
    (a) Qual é a probabilidade de uma peça, escolhida ao acaso entre todas produzidas, ser reprovada no teste de qualidade?
    (b) A aprovação nos testes de qualidade depende do turno em que as peças foram produzidas?

Passo 1

O enunciado dá três turnos com probabilidades de produção e aprovações distintas:
P(Manhã)=0,30, P(Tarde)=0,45, P(Noite)=0,25, ã
P(A| Manhã)=0,98, P(A| Tarde)=0,95, P(A| Noite)=0,90 ã
Queremos (a) a probabilidade de reprovação P(R) e (b) saber se aprovação e turno são independentes.

Passo 2

Para P(R) usamos o Teorema da Probabilidade Total:
P(R) = sumiinM,T,NP(Turnoi),P(Rmid Turnoi)
Como P(Rmid Turnoi)=1-P(Amid Turnoi), temos
P(R) =0,30cdot(1-0,98)+0,45cdot(1-0,95)+0,25cdot(1-0,90) =0,30cdot0,02+0,45cdot0,05+0,25cdot0,10
Calculando:
P(R)=0,006+0,0225+0,025=0,0535approx5,35%

Passo 3

Para checar independência entre aprovação A e turno T, calculamos
P(A)=1-P(R)=0,9465,
e comparamos
P(Acap Manhã)=P(Manhã),P(Amid Manhã) =0,30cdot0,98=0,294 ããã
com
P(A),P(Manhã)=0,9465cdot0,30=0,28395 ã
Como 0,294neq0,28395, aprovação e turno não são independentes.

Resposta

(a) P(reprovada)=0,0535approx5,35%.
(b) Sim, a aprovação depende do turno.

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