Exemplo 6: Uma indústria realiza tratamentos térmicos em ligas metálicas utilizando três fornos diferentes: Forno 1, Forno 2 e Forno 3.
  • 40 % é a probabilidade das peças serem tratadas no Forno 1;
  • 35 % de serem tratadas no Forno 2;
  • 25 % de serem tratadas no Forno 3.
A probabilidade de uma peça apresentar tensões residuais elevadas após o tratamento térmico depende do forno utilizado:
  • No Forno 1, 5% das peças apresentam tensões elevadas;
  • No Forno 2, 8% das peças apresentam tensões elevadas;
  • No Forno 3, 12 % das peças apresentam tensões elevadas.
Qual é a probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente apresentar tensões residuais elevadas após o tratamento?

Passo 1

O enunciado descreve uma indústria que trata peças em três fornos distintos (Forno 1, Forno 2 e Forno 3) com probabilidades de uso de 40%, 35% e 25%, respectivamente. A probabilidade de uma peça apresentar tensões residuais elevadas após o tratamento é dada condicionalmente ao forno: 5% no Forno 1, 8% no Forno 2 e 12% no Forno 3. O conteúdo é o Teorema da Probabilidade Total, que usaremos para achar a probabilidade de uma peça, escolhida ao acaso, ter tensões elevadas.

Passo 2

Definimos os eventos:
F1 = “peça no Forno 1”, F2 = “peça no Forno 2”, F3 = “peça no Forno 3
e A = “peça com tensões elevadas”.
Suas probabilidades são
P(F1)=0,4, P(F2)=0,35, P(F3)=0,25
P(Amid F1)=0,05, P(Amid F2)=0,08, P(Amid F3)=0,12

Passo 3

Pelo Teorema da Probabilidade Total,
P(A)=P(F1),P(Amid F1)+P(F2),P(Amid F2)+P(F3),P(Amid F3)

Passo 4

Calculando cada termo:
0,4times0,05=0,02, 0,35times0,08=0,028, 0,25times0,12=0,03
Somando,
P(A)=0,02+0,028+0,03=0,078

Resposta

A probabilidade de uma peça apresentar tensões residuais elevadas é 7,8%.

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