Exemplo 8: Uma indústria fabrica ligas metálicas a partir de dois fornecedores de matéria-prima: o Fornecedor A e o Fornecedor B. O Fornecedor A fornece 60 % do total de material utilizado, e o Fornecedor B, os 40 % restantes. Dados históricos indicam que 8 % das peças produzidas com material do Fornecedor A apresentam microfissuras internas, enquanto para o Fornecedor B essa taxa é de 12 %.
Sorteando uma peça defeituosa (com microfissura), qual é a probabilidade de que ela tenha sido fabricada com matéria-prima do Fornecedor B ?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de probabilidade condicional em que há dois fornecedores de matéria-prima, A e B, com probabilidades a priori diferentes, e sabemos as taxas de defeito (microfissuras) associadas a cada fornecedor. O conteúdo aqui é o Teorema de Bayes, que nos permite inverter probabilidades condicionais.

Passo 2

Vamos anotar as probabilidades conhecidas:
– Probabilidade de escolher material do Fornecedor A:
P(A) = 0,6
– Probabilidade de escolher material do Fornecedor B:
P(B) = 0,4
– Probabilidade de defeito dado A:
P(D mid A) = 0,08
– Probabilidade de defeito dado B:
P(D mid B) = 0,12

Passo 3

Calculamos a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, usando a fórmula da probabilidade total:
P(D) = P(D mid A),P(A) + P(D mid B),P(B)
Substituindo:
P(D) = 0,08 times 0,6 + 0,12 times 0,4 = 0,048 + 0,048 = 0,096

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar P(B mid D):
P(B mid D) = P(D mid B),P(B)P(D) = 0,12 times 0,40,096 = 0,0480,096 = 0,5

Resposta

A probabilidade de que uma peça defeituosa tenha sido fabricada com matéria-prima do Fornecedor B é 0,5 (ou 50%).

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