Dê exemplo, quando for possível, de transformações lineares T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4} e T_{5}, satisfazendo:
T_{5}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \operatorname{com} N(T)=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; z=-x\right\}.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear T_{5}\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} cuja nulidade seja exatamente o plano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=-x\}. O conteúdo principal aqui é a definição de núcleo (kernel) de uma transformação linear e a fórmula de posto-nulidade.

Passo 2

Note que
\ker(T_{5})=\{(x,y,z)\mid z=-x\}=\{(x,y,-x)\mid x,y\in\mathbb{R}\},
que é um subespaço de dimensão 2. Pela relação de posto-nulidade em \mathbb{R}^{3},
\dim(\ker T_{5})+\dim(\operatorname{Im}T_{5})=3 \quad\Longrightarrow\quad 2+\dim(\operatorname{Im}T_{5})=3 \quad\Longrightarrow\quad \dim(\operatorname{Im}T_{5})=1.

Passo 3

Para ter posto 1, basta enviar cada vetor (x,y,z) para um múltiplo de um único vetor não nulo em \mathbb{R}^{3}. Como a equação do plano é x+z=0, definimos
T_{5}(x,y,z)=(\,x+z,\,0,\,0).
É imediato ver que \operatorname{Im}T_{5}\subseteq\mathrm{span}\{(1,0,0)\}, que tem dimensão 1.

Passo 4

Verificamos a nulidade:
T_{5}(x,y,z)=(x+z,0,0)=(0,0,0) \quad\Longleftrightarrow\quad x+z=0 \quad\Longleftrightarrow\quad z=-x,
sem impor condição sobre y. Logo \ker(T_{5})=\{(x,y,z)\mid z=-x\}, conforme desejado.

Resposta

Uma escolha possível é
T_{5}\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(x+z,\;0,\;0\bigr).

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