Seja T: P_{3} \rightarrow P_{3}, dada por T(p(x))=p^{\prime \prime}(x) (derivada segunda). Mostre que T é linear e encontre uma base para N(T).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear \r T: P_{3} \to P_{3} \r
por \r
T\bigl(p(x)\bigr)=p''(x),\r
ou seja, leva cada polinômio de grau até 3 à sua segunda derivada. O conteúdo é teoria de transformações lineares e núcleo (ou espaço nulo). Vamos mostrar que T é linear e depois achar uma base de N(T).

Passo 2

Para provar que T é linear, lembramos que uma transformação T é linear se, para quaisquer polinômios p,q\in P_{3} e escalares \alpha,\beta, valer\r
T\bigl(\alpha p + \beta q\bigr)\r =\alpha\,T(p)+\beta\,T(q).\r
De fato,\r
T\bigl(\alpha p + \beta q\bigr) =\bigl(\alpha p + \beta q\bigr)'' =\alpha\,p'' + \beta\,q'' =\alpha\,T(p)+\beta\,T(q),
portanto T é linear.

Passo 3

Para achar o núcleo, tomamos um polinômio geral de grau até 3:\r
p(x)=a\,x^{3}+b\,x^{2}+c\,x+d,
com a,b,c,d\in\mathbb{R}.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada de p:\r
p'(x)=3a\,x^{2}+2b\,x+c,
p''(x)=6a\,x+2b.

Passo 5

O núcleo N(T) é o conjunto de todos os p tais que T(p)=p''=0 (o polinômio zero). Isso exige que 6a=0 e 2b=0, ou seja a=0 e b=0. Então\r
p(x)=c\,x+d,
com c,d livres.

Passo 6

Portanto \r
N(T)=\{\,c\,x+d \mid c,d\in\mathbb{R}\},\r
que é o espaço dos polinômios de grau <=1. Uma base natural é \r
\{1,\,x\}.

Resposta

Uma base para N(T) é \{1,x\}.
ewline\r
Além disso, T é linear porque preserva soma e multiplicação por escalar pela propriedade das derivadas.

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