Dê um exemplo de uma função contínua que possua infinitos pontos de máximos locais num intervalo limitado [a, b].

Passo 1

O enunciado pede um exemplo explícito de uma função contínua definida num intervalo limitado [a,b] que tenha infinitos pontos de máximo local dentro desse intervalo.
Informações dadas:
  • O intervalo é [a,b] com a<b.
  • Precisa-se de uma função contínua em [a,b].
  • A função deve possuir infinitos pontos de máximo local (ou seja, infinitos pontos onde a função atinge um valor estritamente maior que em pontos próximos).

Passo 2

Vamos pensar em uma estratégia simples e construtiva. A ideia intuitiva é colocar “picos” cada vez menores e cada um em um ponto diferente, desses picos formando uma sequência que converge para um ponto do intervalo. Se os picos forem bem separados (suportes disjuntos) e com alturas decrescentes, cada pico será um máximo local isolado; como haverá infinitos picos, teremos infinitos máximos locais. Agora vou transformar essa ideia em uma construção matemática precisa e verificar continuidade e a propriedade dos máximos locais.

Passo 3

Escolher uma sequência de pontos em (a,b) que converge para um extremo do intervalo (ou para algum ponto interior). Uma escolha conveniente é
x_n = a + \frac{b-a}{2^{n}},\quad n=1,2,3,\dots
Então cada x_n pertence a (a,b] e \lim_{n\to\infty} x_n = a. Esses serão os centros dos nossos picos.

Passo 4

Escolher pequenas larguras (metade do “diâmetro” do pico) de forma que os intervalos ao redor dos centros fiquem disjuntos. Defina
r_n = \frac{b-a}{2^{n+3}}.
Considere os intervalos
I_n = [\,x_n - r_n,\; x_n + r_n\,].
Vou verificar que os I_n são disjuntos: a distância entre dois centros consecutivos é
x_n - x_{n+1} = \frac{b-a}{2^{n+1}},
enquanto 2r_n = \dfrac{b-a}{2^{n+2}} < x_n - x_{n+1}. Portanto os intervalos I_n não se sobrepõem (cada I_n está isolado).

Passo 5

Definir, para cada n\), uma função triangular (bump) \(\varphi_n\) que vale \(1\) em \(x_n\), decresce linearmente até \(0\) nas bordas de \(I_n\), e é \(0\) fora de \(I_n\). Formalmente: \[\varphi_n(x)= \begin{cases} 1-\dfrac{|x-x_n|}{r_n}, & x\in I_n,\\[6pt] 0, & x\notin I_n. \end{cases}
Cada \varphi_n\] é contínua em \([a,b], tem suporte contido em I_n e satisfaz 0\le \varphi_n(x)\le 1 para todo x.]

Passo 6

Combinar as \varphi_n numa série de funções com coeficientes decrescentes para garantir convergência. Defina a função
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n}\,\varphi_n(x),\qquad x\in[a,b].
Explico por que essa série converge uniformemente e por que f é contínua:
  • Para todo x e todo n vale 0\le \varphi_n(x)\le 1, então
0\le 2^{-n}\varphi_n(x)\le 2^{-n}.
  • A série numérica \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} converge (é geométrica com soma 1). Pelo teste de Weierstrass (M-test), a série de funções \sum 2^{-n}\varphi_n(x) converge uniformemente em [a,b].
  • Cada soma parcial é contínua (soma finita de funções contínuas). O limite uniforme de funções contínuas é contínuo. Logo f é contínua em [a,b].

Passo 7

Agora mostro que cada x_n é um máximo local estrito de f. Primeiro observo que, pelos suportes escolhidos, \varphi_m(x_n)=0 sempre que m\ne n, porque x_n pertence apenas a I_n e os I_m são disjuntos. Assim
f(x_n)=\sum_{m=1}^{\infty}2^{-m}\varphi_m(x_n)=2^{-n}\varphi_n(x_n)=2^{-n}.
Se x\in I_n mas x\ne x_n, então 0\le \varphi_n(x)<1 e para m\ne n temos \varphi_m(x)=0. Portanto, para tais x,
f(x)=2^{-n}\varphi_n(x) < 2^{-n} = f(x_n).
Logo existe uma vizinhança de x_n (por exemplo I_n inteiro) onde f(x)<f(x_n) para todo x\ne x_n nessa vizinhança; isto é, x_n é um máximo local estrito. Como n é arbitrário, existe uma sequência infinita (x_n) de máximos locais.

Passo 8

Resumo das propriedades verificadas:
  • f é contínua em [a,b] (série converge uniformemente).
  • Os pontos x_n são infinitos e estão contidos em (a,b].
  • Cada x_n é um máximo local estrito de f.
    Portanto f é um exemplo desejado.

Passo 9

Um comentário intuitivo final: construímos uma “coleção” de picos triangulares cada vez menores e bem separados. A soma ponderada desses picos dá uma função contínua (as alturas somáveis garantem convergência uniforme) com tantos picos quantos quisermos — aqui, uma infinidade — cada um gerando um máximo local.

Resposta

\text{Escolha }x_n=a+\dfrac{b-a}{2^{n}},\quad r_n=\dfrac{b-a}{2^{n+3}},\quad \varphi_n(x)= \begin{cases} 1-\dfrac{|x-x_n|}{r_n}, & x\in[x_n-r_n,x_n+r_n],\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
\text{e defina }f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}\varphi_n(x).
Então f é contínua em [a,b] e tem infinitos pontos de máximo local (os pontos x_n, n=1,2,\dots).]

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