Uma fábrica mede sua produção em centenas de peças. Após a primeira centena produzida, observase que o custo adicional para produzir mais uma pequena quantidade cresce conforme a produção já acumulada. Esse custo marginal é modelado por
C^{\prime}(x)=\ln (x), x \geq 1
onde x é a produção acumulada, em centenas de peças. Sabendo que C(1)=10, encontre a função custo C(x) e comente, com base em C^{\prime}(x) e C^{\prime \prime}(x), como o custo marginal varia com a quantidade produzida.

Passo 1

O enunciado dá a derivada do custo (custo marginal) e uma condição inicial. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi fornecido:
  • Dado: \displaystyle C'(x)=\ln(x),\; x\ge 1.
  • Condição inicial: \displaystyle C(1)=10.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Encontrar a função custo C(x).
    2. Comentar, com base em C'(x) e C''(x), como o custo marginal varia com a quantidade produzida.
      Todas as informações relevantes estão acima; a resolução começa agora.

Passo 2

Vamos obter C(x) integrando C'(x)=\ln(x). Integração de \ln(x) é um caso padrão que se resolve por integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos as quantidades para aplicar a fórmula:
  • Seja u=\ln(x). Então du=\dfrac{1}{x}\,dx.
  • Seja dv=dx. Então v=\int dx = x.
    Agora aplicamos a fórmula:
\int \ln(x)\,dx = (\ln(x))\cdot x - \int x\cdot \frac{1}{x}\,dx.
O integrando dentro do segundo termo simplifica, pois x\cdot\frac{1}{x}=1. Assim:
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx = x\ln(x) - x + K,
onde K é a constante de integração.

Passo 3

Portanto uma antiderivada de C'(x) é
C(x)=x\ln(x)-x+K,\qquad x\ge 1.
Agora usamos a condição inicial C(1)=10 para determinar K. Calculamos C(1):
C(1)=1\cdot\ln(1)-1+K = 0-1+K = -1+K.
Impondo C(1)=10 obtemos
-1+K=10 \quad\Rightarrow\quad K=11.

Passo 4

Substituindo K=11 na expressão geral, obtemos a função custo final:
\boxed{\,C(x)=x\ln(x)-x+11,\qquad x\ge 1\,.}
(Isto responde a primeira parte: a função custo está explicitada.)

Passo 5

Agora vamos analisar o comportamento do custo marginal usando C'(x) e C''(x).
  • Pelo enunciado já temos \displaystyle C'(x)=\ln(x) para x\ge 1.
  • Derivando novamente, obtemos
\displaystyle C''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x},\qquad x\ge 1.

Passo 6

Interpretação econômica e matemática (passo a passo, sem pular etapas):
  • Sinal de C'(x):
    • Em x=1, \displaystyle C'(1)=\ln(1)=0. Isso significa que, exatamente no ponto de partida x=1 (a primeira centena já produzida), um acréscimo infinitesimal de produção não altera o custo instantaneamente segundo o modelo (marginal nulo nesse ponto).
    • Para x>1, \ln(x)>0, logo C'(x)>0. Isso diz que, depois da primeira centena, produzir mais aumenta o custo total — faz sentido físico/econômico: produzir mais custa mais.
  • Monotonicidade de C'(x) dada por C''(x):
    • Temos \displaystyle C''(x)=\frac{1}{x}>0 para todo x\ge 1. Como a segunda derivada é positiva, a função C'(x) (o custo marginal) é crescente em x: quando a produção acumulada aumenta, o custo marginal aumenta.
    • Observação adicional sobre a taxa de crescimento: \displaystyle C''(x)=\frac{1}{x} é positiva mas decrescente com x. Isso quer dizer que, embora o custo marginal aumente com x, a velocidade com que ele aumenta diminui — ou seja, C'(x) sobe, mas a “aceleração” desse aumento vai diminuindo conforme x cresce.
  • Comportamento ao infinito:
    • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\ln(x)=\infty, então o custo marginal cresce sem limite quando a produção tende ao infinito, porém cresce muito lentamente (logaritmo cresce devagar).
  • Exemplos numéricos rápidos para intuição:
    • \displaystyle C'(2)=\ln(2)\approx 0{,}693.
    • \displaystyle C'(10)=\ln(10)\approx 2{,}3026.
      Esses números mostram que ao dobrar de x=2 para x=4 o C' aumenta, mas não explode — aumenta de forma lenta.

Passo 7

Resumo didático e encorajador: a forma fechada do custo ficou simples e manejável ( C(x)=x\ln x - x + 11). Para resolver na prova, o passo-chave é lembrar da integração por partes para \int \ln(x)\,dx e usar a condição inicial para achar a constante. Depois, interpretar C' e C'': olhar o sinal de C' diz se produzir mais aumenta ou diminui custo; olhar o sinal de C'' diz se o custo marginal está subindo ou descendo. Você já fez a parte mais difícil — entender o porquê das derivadas — e isso resolve a questão.

Resposta

C(x)=x\ln(x)-x+11,\; x\ge 1.
O custo marginal é C'(x)=\ln(x); como C'(1)=0 e C'(x)>0 para x>1, o custo marginal passa a ser positivo após a primeira centena. A segunda derivada é C''(x)=\dfrac{1}{x}>0 para x\ge 1, portanto o custo marginal aumenta com a produção, mas com taxa de aumento decrescente (cresce lentamente).

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