Uma fábrica mede sua produção em centenas de peças. Após a primeira centena produzida, observase que o custo adicional para produzir mais uma pequena quantidade cresce conforme a produção já acumulada. Esse custo marginal é modelado por
onde
é a produção acumulada, em centenas de peças. Sabendo que
, encontre a função custo
e comente, com base em
e
, como o custo marginal varia com a quantidade produzida.
Passo 1
O enunciado dá a derivada do custo (custo marginal) e uma condição inicial. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi fornecido:
- Dado:
- Condição inicial:
- Perguntas que o enunciado faz:
- Encontrar a função custo
. - Comentar, com base em
e , como o custo marginal varia com a quantidade produzida.
Todas as informações relevantes estão acima; a resolução começa agora.
- Encontrar a função custo
Passo 2
Vamos obter
integrando
. Integração de
é um caso padrão que se resolve por integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
Escolhemos as quantidades para aplicar a fórmula:
- Seja
. Então . - Seja
. Então .
Agora aplicamos a fórmula:
O integrando dentro do segundo termo simplifica, pois
. Assim:
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Portanto uma antiderivada de
é
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Calculamos
:
Impondo
obtemos
Passo 4
Substituindo
na expressão geral, obtemos a função custo final:
(Isto responde a primeira parte: a função custo está explicitada.)
Passo 5
Agora vamos analisar o comportamento do custo marginal usando
e
.
- Pelo enunciado já temos
para . - Derivando novamente, obtemos
Passo 6
Interpretação econômica e matemática (passo a passo, sem pular etapas):
- Sinal de
: - Em
, . Isso significa que, exatamente no ponto de partida (a primeira centena já produzida), um acréscimo infinitesimal de produção não altera o custo instantaneamente segundo o modelo (marginal nulo nesse ponto). - Para
, , logo . Isso diz que, depois da primeira centena, produzir mais aumenta o custo total — faz sentido físico/econômico: produzir mais custa mais.
- Em
- Monotonicidade de
dada por : - Temos
para todo . Como a segunda derivada é positiva, a função (o custo marginal) é crescente em : quando a produção acumulada aumenta, o custo marginal aumenta. - Observação adicional sobre a taxa de crescimento:
é positiva mas decrescente com . Isso quer dizer que, embora o custo marginal aumente com , a velocidade com que ele aumenta diminui — ou seja, sobe, mas a “aceleração” desse aumento vai diminuindo conforme cresce.
- Temos
- Comportamento ao infinito:
-
, então o custo marginal cresce sem limite quando a produção tende ao infinito, porém cresce muito lentamente (logaritmo cresce devagar).
-
- Exemplos numéricos rápidos para intuição:
-
. -
.
Esses números mostram que ao dobrar depara o aumenta, mas não explode — aumenta de forma lenta.
-
Passo 7
Resumo didático e encorajador: a forma fechada do custo ficou simples e manejável (
). Para resolver na prova, o passo-chave é lembrar da integração por partes para
e usar a condição inicial para achar a constante. Depois, interpretar
e
: olhar o sinal de
diz se produzir mais aumenta ou diminui custo; olhar o sinal de
diz se o custo marginal está subindo ou descendo. Você já fez a parte mais difícil — entender o porquê das derivadas — e isso resolve a questão.
Resposta
O custo marginal é