( 2,0 pontos). Num círculo de raio a, uma corda distando
unidades do centro corta uma fatia do cículo chamado segmento. Use integração para determinar uma fórmula para a área desse segmento.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, por integração, uma fórmula para a área do segmento de um círculo de raio
cortado por uma corda que está a uma distância
do centro.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- O círculo tem raio
(ou seja, distância do centro a qualquer ponto da circunferência é ). - A corda está a uma distância
do centro, com . - O segmento é a região do círculo limitada pela corda e pelo arco correspondente (vamos considerar o segmento menor, o que está “do lado” mais próximo do arco).
- Precisamos usar integração para obter uma expressão fechada para a área desse segmento em função de
e .
Passo 2
Escolhemos um referencial conveniente e escrevemos a integral que dá a área. Colocamos o centro do círculo na origem dos eixos e tomamos a corda paralela ao eixo
, a uma distância
do centro; assim a reta da corda tem equação
. A equação do círculo é
Para cada
com
(a parte superior do círculo), os pontos do círculo têm coordenadas
. Como a região do segmento é simétrica em
, a largura horizontal em cada
é
. Logo a área do segmento vem pela integral
Expliquei: o fator
vem da simetria esquerda-direita e a integral soma as larguras horizontais de
até
.
Passo 3
Agora precisamos computar a primitiva de
. Uma maneira didática é usar a substituição trigonométrica
onde
varia de
até
. Substituindo na integral básica (sem o fator
por enquanto):
Usamos a identidade trigonométrica
. Assim
Voltando para
: note que
. Substituindo isso na expressão e simplificando, obtemos a primitiva conhecida
Expliquei passo a passo a substituição trigonométrica e como voltar para a variável original
.
Passo 4
Agora aplicamos a primitiva na integral definida com o fator
:
Avaliamo-la nos limites. Para
temos
e
, então a primitiva em
é
. Para
a primitiva é
Subtraindo e multiplicando por
obtemos
Agora usamos a relação trigonométrica
. Assim
. Substituindo,
Expliquei cada substituição e simplificação para que você consiga reproduzir à mão na prova.
Passo 5
Interpretação geométrica (cheque de consistência e alternativa): se chamarmos
, então o ângulo central correspondente ao arco do segmento é
. A área do setor circular de ângulo
é
A área do triângulo isósceles formado pelos dois raios que limitam o setor e pela corda é
Como
, a área do triângulo fica
. Subtraindo (setor menos triângulo) recuperamos a mesma fórmula
Esse raciocínio geométrico serve como verificação da integral e é mais rápido se você lembrar da fórmula na prova — mas a integração mostra de onde vem.