( 2,0 pontos). Num círculo de raio a, uma corda distando b unidades do centro corta uma fatia do cículo chamado segmento. Use integração para determinar uma fórmula para a área desse segmento.

Passo 1

O enunciado pede: determinar, por integração, uma fórmula para a área do segmento de um círculo de raio \;a\; cortado por uma corda que está a uma distância \;b\; do centro.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • O círculo tem raio \;a\; (ou seja, distância do centro a qualquer ponto da circunferência é \;a\;).
  • A corda está a uma distância \;b\; do centro, com 0\le b\le a.
  • O segmento é a região do círculo limitada pela corda e pelo arco correspondente (vamos considerar o segmento menor, o que está “do lado” mais próximo do arco).
  • Precisamos usar integração para obter uma expressão fechada para a área desse segmento em função de \;a\; e \;b\;.

Passo 2

Escolhemos um referencial conveniente e escrevemos a integral que dá a área. Colocamos o centro do círculo na origem dos eixos e tomamos a corda paralela ao eixo x, a uma distância b do centro; assim a reta da corda tem equação \;y=b\;. A equação do círculo é
x^{2}+y^{2}=a^{2}.
Para cada y com b\le y\le a (a parte superior do círculo), os pontos do círculo têm coordenadas x=\pm\sqrt{a^{2}-y^{2}}. Como a região do segmento é simétrica em x, a largura horizontal em cada y é 2\sqrt{a^{2}-y^{2}}. Logo a área do segmento vem pela integral
\text{Área}=\int_{y=b}^{y=a} 2\sqrt{a^{2}-y^{2}}\;dy.Á
Expliquei: o fator 2 vem da simetria esquerda-direita e a integral soma as larguras horizontais de y=b até y=a.

Passo 3

Agora precisamos computar a primitiva de \sqrt{a^{2}-y^{2}}. Uma maneira didática é usar a substituição trigonométrica
y=a\sin\theta, \qquad dy=a\cos\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{a^{2}-y^{2}}=a\cos\theta,
onde \theta varia de \theta_{b}=\arcsin\!\left(\dfrac{b}{a}\right) até \theta_{a}=\arcsin(1)=\dfrac{\pi}{2}. Substituindo na integral básica (sem o fator 2 por enquanto):
\int \sqrt{a^{2}-y^{2}}\;dy = \int a\cos\theta\; (a\cos\theta\,d\theta) = a^{2}\int \cos^{2}\theta\;d\theta.
Usamos a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Assim
a^{2}\int \cos^{2}\theta\;d\theta = a^{2}\int \frac{1+\cos 2\theta}{2}\;d\theta = \frac{a^{2}}{2}\left(\theta+\frac{\sin 2\theta}{2}\right)+C.
Voltando para y: note que \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\frac{y}{a}\cdot\frac{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}{a}=\frac{2y\sqrt{a^{2}-y^{2}}}{a^{2}}. Substituindo isso na expressão e simplificando, obtemos a primitiva conhecida
\int \sqrt{a^{2}-y^{2}}\;dy = \frac{y}{2}\sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\left(\frac{y}{a}\right)+C.
Expliquei passo a passo a substituição trigonométrica e como voltar para a variável original y.

Passo 4

Agora aplicamos a primitiva na integral definida com o fator 2:
\text{Área}=2\left[\frac{y}{2}\sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\left(\frac{y}{a}\right)\right]_{y=b}^{y=a}.Á
Avaliamo-la nos limites. Para y=a temos \sqrt{a^{2}-a^{2}}=0 e \arcsin(1)=\dfrac{\pi}{2}, então a primitiva em y=a é \dfrac{a^{2}}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{a^{2}\pi}{4}. Para y=b a primitiva é
\frac{b}{2}\sqrt{a^{2}-b^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\left(\frac{b}{a}\right).
Subtraindo e multiplicando por 2 obtemos
\begin{aligned} \text{Área} &=2\left(\frac{a^{2}\pi}{4}-\frac{b}{2}\sqrt{a^{2}-b^{2}}-\frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\left(\frac{b}{a}\right)\right)\\\ &= \frac{a^{2}\pi}{2}-b\sqrt{a^{2}-b^{2}}-a^{2}\arcsin\!\left(\frac{b}{a}\right). \end{aligned}Á
Agora usamos a relação trigonométrica \operatorname{arccos} t = \dfrac{\pi}{2}-\arcsin t. Assim \dfrac{\pi}{2}-\arcsin\!\left(\dfrac{b}{a}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{b}{a}\right). Substituindo,
\text{Área}=a^{2}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{b}{a}\right)-b\sqrt{a^{2}-b^{2}}.Á
Expliquei cada substituição e simplificação para que você consiga reproduzir à mão na prova.

Passo 5

Interpretação geométrica (cheque de consistência e alternativa): se chamarmos \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{b}{a}\right), então o ângulo central correspondente ao arco do segmento é 2\theta. A área do setor circular de ângulo 2\theta é
\text{Área do setor}= \frac{1}{2}a^{2}(2\theta)=a^{2}\theta.Á
A área do triângulo isósceles formado pelos dois raios que limitam o setor e pela corda é
\text{Área do triângulo}= \frac{1}{2}\cdot(\text{base})\cdot(\text{altura}) = \frac{1}{2}\cdot(2a\sin\theta)\cdot(b) = b\cdot a\sin\theta.Áâ
Como \sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-(b/a)^{2}}=\dfrac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}, a área do triângulo fica b\sqrt{a^{2}-b^{2}}. Subtraindo (setor menos triângulo) recuperamos a mesma fórmula
\text{Área}=a^{2}\theta - b\sqrt{a^{2}-b^{2}} = a^{2}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{b}{a}\right)-b\sqrt{a^{2}-b^{2}}.Á
Esse raciocínio geométrico serve como verificação da integral e é mais rápido se você lembrar da fórmula na prova — mas a integração mostra de onde vem.

Resposta

\text{Área}=a^{2}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{b}{a}\right)-b\sqrt{a^{2}-b^{2}}.Á

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