Dê exemplo de uma função definida em R e que seja contínua em todos os pont inteiros.

Passo 1

O enunciado pede para dar um exemplo de função f:RtoR que seja contínua em todos os pontos inteiros. O conteúdo aqui é a definição de continuidade pontual: dizemos que f é contínua em a se limxto af(x)=f(a). Vamos lembrar da definição de continuidade em um ponto. Uma função f é contínua em a se, para toda sequência (xn) que converge para a, temos f(xn)to f(a).

Passo 2

Para construir uma função que só tenha limite bem-definido nos inteiros, podemos usar a função indicadora de racionalidade junto com a parte fracionária. Definimos
f(x)= x-lfloor xrfloor,&se xinQ, 0,&se xnotinQ,
e escolhemos f(n)=0 para todo ninZ. Aqui x-lfloor xrfloor é a parte fracionária de x.

Passo 3

Agora vamos mostrar que essa f é contínua em cada inteiro n. Seja (xk) qualquer sequência que converge para n. Se quase todos xk forem irracionais, então f(xk)=0 e logo f(xk)to0=f(n). Se houver subsequência racional, nessas posições f(xk)=xk-lfloor xkrfloor=xk-n, e como xkto n isso tende a 0. Portanto toda subsequência de f(xk) tende a 0, ou seja, limxto nf(x)=0=f(n).

Passo 4

Opcionalmente, nota-se que em um ponto x0notinZ a parte fracionária x0-lfloor x0rfloor é um número cin(0,1). Tomando aproximações racionais temos f(x)to c, e aproximações irracionais dão f(x)to0, então não existe limite único em x0. Assim a única continuidade ocorre nos inteiros.

Resposta

Uma função que satisfaz o enunciado é
f(x)= x-lfloor xrfloor,&xinQ, 0,&xnotinQ

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