Dê exemplo de uma função definida em
e que seja contínua em todos os pont inteiros.
Passo 1
O enunciado pede para dar um exemplo de função
que seja contínua em todos os pontos inteiros. O conteúdo aqui é a definição de continuidade pontual: dizemos que
é contínua em
se
. Vamos lembrar da definição de continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em
se, para toda sequência
que converge para
, temos
.
Passo 2
Para construir uma função que só tenha limite bem-definido nos inteiros, podemos usar a função indicadora de racionalidade junto com a parte fracionária. Definimos
e escolhemos
para todo
. Aqui
é a parte fracionária de
.
Passo 3
Agora vamos mostrar que essa
é contínua em cada inteiro
. Seja
qualquer sequência que converge para
. Se quase todos
forem irracionais, então
e logo
. Se houver subsequência racional, nessas posições
, e como
isso tende a
. Portanto toda subsequência de
tende a 0, ou seja,
.
Passo 4
Opcionalmente, nota-se que em um ponto
a parte fracionária
é um número
. Tomando aproximações racionais temos
, e aproximações irracionais dão
, então não existe limite único em
. Assim a única continuidade ocorre nos inteiros.
Resposta
Uma função que satisfaz o enunciado é