(Questão aberta) Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
l y^prime prime+4 y^prime+3 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=-1

Passo 1

O PVI dado é
y'' + 4y' + 3y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -1
Isso é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar montar e resolver a equação característica.

Passo 2

Para EDO linear homogênea com coeficientes constantes, substituímos y = e^{rt} e obtemos a equação característica:
r^2 + 4r + 3 = 0
Agora vamos achar as raízes r.

Passo 3

Resolvendo
r^2 + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0
os valores de r são r = -1 e r = -3. Então a solução geral da EDO é
y(t) = C1e^-t + C2e^-3t

Passo 4

Vamos obter y’ e aplicar as condições iniciais. Derivando:
y'(t) = -C1e^-t - 3C2e^-3t
Aplicando y(0)=2 e y’(0)=-1, temos o sistema
C1 + C2 = 2, - C1 - 3C2 = -1

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação C_1 = 2 - C_2. Substituindo na segunda:
- (2 - C2) - 3C2 = -1
-2 + C2 - 3C2 = -1 ,Rightarrow, -2 -2C2 = -1 ,Rightarrow, C2 = -tfrac12
Então C_1 = 2 - (-\tfrac12) = \tfrac52. Com isso, a solução específica é
y(t) = tfrac52 e^-t - tfrac12 e^-3t

Resposta

y(t) = 52e^-t - 12e^-3t

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