[
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+10=0 \quad, \quad y(0)=1 \quad, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

No enunciado temos a equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 10 = 0
com condições iniciais
y(0)=1 e y’(0)=0. O conteúdo envolve solução de EDO linear: precisamos obter a solução homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Para a solução homogênea consideramos a equação associada
y'' - 2y' = 0
cuja equação característica é
r^2 - 2r = 0 implies r(r - 2) = 0
Portanto, as raízes são r_1 = 0 e r_2 = 2, e a solução homogênea é
yh(t) = C1 + C2 e^2t

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_p(t) da EDO original, usamos o método de anulação de termos não homogêneos (constante). Supomos um polinômio de grau 1:
yp(t) = At + B
Então
y_p’(t) = A,
y_p’’(t) = 0.
Substituindo em y’’ - 2y’ + 10 = 0 resulta
0 - 2A + 10 = 0 implies A = 5
Escolhendo B = 0 (qualquer constante B ficaria absorvida em y_h), temos
yp(t) = 5t

Passo 4

A solução geral é a soma
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2 e^2t + 5t
Calculamos a derivada
y'(t) = 0 + 2C2 e^2t + 5
Aplicando as condições iniciais:
Para t = 0, y(0) = 1 dá
C1 + C2 = 1
Para t = 0, y’(0) = 0 dá
2C2 + 5 = 0 implies C2 = -tfrac52
Logo C_1 = 1 - C_2 = 1 + \tfrac{5}{2} = \tfrac{7}{2}.

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t) = tfrac72 - tfrac52e^2t + 5t

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