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y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+10=0 \quad, \quad y(0)=1 \quad, \quad y^{\prime}(0)=0
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+10=0 \quad, \quad y(0)=1 \quad, \quad y^{\prime}(0)=0
Passo 1
No enunciado temos a equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
com condições iniciais
y(0)=1 e y’(0)=0. O conteúdo envolve solução de EDO linear: precisamos obter a solução homogênea e uma solução particular.
y(0)=1 e y’(0)=0. O conteúdo envolve solução de EDO linear: precisamos obter a solução homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Para a solução homogênea consideramos a equação associada
cuja equação característica é
Portanto, as raízes são r_1 = 0 e r_2 = 2, e a solução homogênea é
Passo 3
Para encontrar uma solução particular y_p(t) da EDO original, usamos o método de anulação de termos não homogêneos (constante). Supomos um polinômio de grau 1:
Então
y_p’(t) = A,
y_p’’(t) = 0.
Substituindo em y’’ - 2y’ + 10 = 0 resulta
y_p’(t) = A,
y_p’’(t) = 0.
Substituindo em y’’ - 2y’ + 10 = 0 resulta
Escolhendo B = 0 (qualquer constante B ficaria absorvida em y_h), temos
Passo 4
A solução geral é a soma
Calculamos a derivada
Aplicando as condições iniciais:
Para t = 0, y(0) = 1 dá
Para t = 0, y(0) = 1 dá
Para t = 0, y’(0) = 0 dá
Logo C_1 = 1 - C_2 = 1 + \tfrac{5}{2} = \tfrac{7}{2}.
Passo 5
Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução que satisfaz as condições iniciais.