1. Se z for uma função diferenciável de x1, x2 e x3 e se xi for uma função diferenciável de t, com i=1,2,3, então z será uma função diferenciável de t e
d zd t=sumi=1^3 partial zpartial xi d xid t

Passo 1

A questão afirma que temos uma função diferenciável z(x₁,x₂,x₃) e cada xᵢ depende diferenciavelmente de t. O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar usar o conceito de diferencial total.

Passo 2

Para entender a Regra da Cadeia, pensamos em z como composição de duas etapas: t ↦ (x₁(t), x₂(t), x₃(t)) e depois (x₁,x₂,x₃) ↦ z(x₁,x₂,x₃). Como tudo é diferenciável, existe o diferencial total de z dado em função de dx₁,dx₂,dx₃.

Passo 3

Escrevemos o diferencial total de z em função das variáveis xᵢ:
dz=partial zpartial x1,dx1+partial zpartial x2,dx2+partial zpartial x3,dx3
Como cada xᵢ varia em t, temos dxᵢ= dxidtdt. Substituindo em dz:
dz=sumi=1^3partial zpartial xil(dxidtr)dt

Passo 4

Dividindo ambos os lados da última expressão por dt, obtemos a derivada de z em relação a t:
dzdt=sumi=1^3partial zpartial xidxidt
E essa é exatamente a fórmula da Regra da Cadeia para três variáveis.

Resposta

dzdt=sumi=1^3partial zpartial xidxidt

Exercícios relacionados