- Se
for uma função diferenciável de
e
e se
for uma função diferenciável de
, então
será uma função diferenciável de
Passo 1
A questão afirma que temos uma função diferenciável z(x₁,x₂,x₃) e cada xᵢ depende diferenciavelmente de t. O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar usar o conceito de diferencial total.
Passo 2
Para entender a Regra da Cadeia, pensamos em z como composição de duas etapas: t ↦ (x₁(t), x₂(t), x₃(t)) e depois (x₁,x₂,x₃) ↦ z(x₁,x₂,x₃). Como tudo é diferenciável, existe o diferencial total de z dado em função de dx₁,dx₂,dx₃.
Passo 3
Escrevemos o diferencial total de z em função das variáveis xᵢ:
Como cada xᵢ varia em t, temos dxᵢ=
Passo 4
Dividindo ambos os lados da última expressão por dt, obtemos a derivada de z em relação a t:
E essa é exatamente a fórmula da Regra da Cadeia para três variáveis.