Dê um exemplo de uma função f definida em R tal que limx o 0 f(x) não existe.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de uma função f: ℝ → ℝ cujo limite em x → 0 não exista. O conteúdo utilizado é limite de funções e precisamos de um comportamento que impeça a existência de limite, por exemplo oscilação infinita próximo a zero.

Passo 2

Uma função clássica que oscila cada vez mais rápido ao se aproximar de zero é dada por f(x)=sin(1/x) para x≠0. Para que f esteja definida em ℝ, atribuímos um valor em x=0, por exemplo f(0)=0. Logo definimos:

Passo 3

Devemos mostrar que lim_{x→0} sin(1/x) não existe. À medida que x se aproxima de 0, o argumento 1/x tende a ±∞ e a função sin(1/x) oscila entre -1 e 1 sem se fixar em nenhum valor. Para qualquer candidato L, podemos encontrar sequências x_n→0 tal que sin(1/x_n)→1 e outras y_n→0 tais que sin(1/y_n)→-1. Como esses limites parciais são diferentes, não há limite único.

Passo 4

Portanto, a função definida por f(x)=sin(1/x) para x≠0 e f(0)=0 é um exemplo de função em ℝ cujo limite em x→0 não existe.

Resposta

f(x)= sinl(1/xr),&xneq0, 0,&x=0

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