Dê exemplo de uma função f tal que:
a) f é contínua em x = 0, mas não é derivável em x = 0.
b) limx to 0 f(x) existe, mas f não é contínua em x = 0.
c) f é definida em uma vizinhança de x = 0, mas limx to 0 f(x) não existe.

Passo 1

O exercício pede três exemplos de funções em torno de x=0, usando conceitos de continuidade, derivabilidade e limites.

Passo 2

Para (a), queremos f contínua em x=0, mas não derivável lá. A função f(x)=|x| satisfaz isso. Ela é contínua pois limxto0|x|=0=f(0), mas não é derivável em 0 porque as derivadas laterais são f'+(0)=1 e f'-(0)=-1, e elas não coincidem.

Passo 3

Para (b), precisamos de limxto0f(x) existir, mas f não ser contínua em 0. Basta uma função com valor diferente em 0. Por exemplo
0,&xneq0, 1,&x=0
Aqui limxto0f(x)=0, mas f(0)=1, logo há descontinuidade.

Passo 4

Para ©, f deve estar definida numa vizinhança de 0 (ou seja, para x próximos de 0), mas limxto0f(x) não pode existir. A clássica é
xneq0 para xto0. Essa função oscila infinitamente ao redor de 0 e não tem limite quando .

Resposta

a) f(x)=|x|
b) f(x)= 0,&xneq01,&x=0
c) f(x)=\sin\bigl(1/x\bigr) para x\neq0

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