Dê exemplo de uma função
tal que:
a)
é contínua em
, mas não é derivável em
.
b)
existe, mas
não é contínua em
.
c)
é definida em uma vizinhança de
, mas
não existe.
a)
b)
c)
Passo 1
O exercício pede três exemplos de funções em torno de x=0, usando conceitos de continuidade, derivabilidade e limites.
Passo 2
Para (a), queremos f contínua em x=0, mas não derivável lá. A função f(x)=|x| satisfaz isso. Ela é contínua pois
, mas não é derivável em 0 porque as derivadas laterais são
e
, e elas não coincidem.
Passo 3
Para (b), precisamos de
existir, mas f não ser contínua em 0. Basta uma função com valor diferente em 0. Por exemplo
Aqui , mas
, logo há descontinuidade.
Aqui
Passo 4
Para ©, f deve estar definida numa vizinhança de 0 (ou seja, para x próximos de 0), mas
não pode existir. A clássica é
para
. Essa função oscila infinitamente ao redor de 0 e não tem limite quando
.
Resposta
a) f(x)=|x|
b) f(x)=
c) f(x)=\sin\bigl(1/x\bigr) para x\neq0
b) f(x)=
c) f(x)=\sin\bigl(1/x\bigr) para x\neq0