Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo:
a) limx o 2 x^2 - 4x + 4x^2 - 3x + 2;
b) limx o -3 x^2 - 9x + 3;
c) limx o 1 x^3 - 1x - 1;
d) limh o 0 (3 + h)^2 - 9h;
e) limt o 0 raizt^2 + 9 - 3t^2;
f) limx o 1 x - 1raizx + 3 - 2.

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular limites de funções que envolvem expressões racionais e irracionais usando técnicas de fatoração e racionalização. Precisaremos aplicar propriedades de limites, fatorar polinômios e, quando necessário, multiplicar por conjugados.

Passo 2

Para o item a), observe que x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 e x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2). Cancelando o fator comum (x-2), a expressão fica x-2x-1. Avaliando em x=2 resulta em 2-22-1=0.

Passo 3

Para o item b), note que x^2-9=(x-3)(x+3). Dividindo por x+3 cancelamos esse fator e obtemos x-3. Ao substituir x=-3 vem -3-3=-6.

Passo 4

No item c), usamos a fatoração de diferença de cubos: x^3-1=(x-1)(x^2+x+1). Cancelando x-1, sobra x^2+x+1. Avaliando em x=1 1+1+1=3.

Passo 5

Para o item d), desenvolvemos (3+h)^2-9=9+6h+h^2-9=h(6+h). Dividindo por h simplifica para 6+h. Tomando hto0 resulta em 6.

Passo 6

No item e), fazemos a racionalização multiplicando numerador e denominador por raizt^2+9+3:
(raizt^2+9-3)(raizt^2+9+3)t^2,(raizt^2+9+3) = t^2t^2,(raizt^2+9+3) = 1raizt^2+9+3
Logo, ao fazer tto0, obtemos 1/(3+3)=1/6.

Passo 7

No item f), racionalizamos analogamente:
x-1raizx+3-2cdotraizx+3+2raizx+3+2 = (x-1)(raizx+3+2)x+3-4 = (x-1)(raizx+3+2)x-1 = raizx+3+2
Substituindo x=1 resulta em 2+2=4.

Resposta

a) 0; b) -6; c) 3; d) 6; e) 1/6; f) 4

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