1. Dê um exemplo de uma função f: R R que é derivável em um único ponto.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função fcolon RtoR que seja derivável em exatamente um ponto.
Para isso vamos usar dois fatos fundamentais:
1. Se f é derivável em a então f é contínua em a.
2. Podemos construir f de modo que só seja contínua num ponto e, portanto, só poderá ser derivável nesse ponto.

Passo 2

Definimos a função
f(x)= x^2, &se xinQ, 0, &se xinRsetminusQ
Vamos mostrar que ela é contínua (e derivável) apenas em x=0.

Passo 3

Mostramos que f é descontínua em todo aneq0.
Se aneq0, tome duas sequências xnto a com xninQ e ynto a com ynnotinQ.
Então
limntoinftyf(xn)=limntoinftyxn^2=a^2, limntoinftyf(yn)=limntoinfty0=0
Como a^2neq0, os limites laterais diferem, logo limxto af(x) não existe e f não é contínua em a. Por ser derivável implica contínua, f não pode ser derivável em nenhum aneq0.

Passo 4

Mostramos que
Quando (caso racional) quanto (caso irracional) tendem a . Assim
e .

Resposta

Um exemplo é
f(x)= x^2, &xinQ, 0, &xnotinQ,
que é derivável somente em x=0, com f'(0)=0.

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