Dê um exemplo de uma função que é derivável em um único ponto.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função que seja derivável em exatamente um ponto.
Para isso vamos usar dois fatos fundamentais: . Se é derivável em então é contínua em . . Podemos construir de modo que só seja contínua num ponto e, portanto, só poderá ser derivável nesse ponto.
Passo 2
Definimos a função
Vamos mostrar que ela é contínua (e derivável) apenas em x=0.
Passo 3
Mostramos que f é descontínua em todo aneq0.
Se aneq0, tome duas sequências xnto a com xninQ e ynto a com ynnotinQ.
Então
Como a^2neq0, os limites laterais diferem, logo limxto af(x) não existe e f não é contínua em a. Por ser derivável implica contínua, f não pode ser derivável em nenhum aneq0.
Passo 4
Mostramos que
Quando (caso racional) quanto (caso irracional) tendem a . Assim