Qual é o teorema que nos garante que se
existir, então
?
Passo 1
O enunciado pergunta qual teorema garante que, se
existe (isto é,
é derivável em
), então
(isto é,
é contínua em
). O conteúdo aqui é o vínculo entre derivabilidade e continuidade em cálculo diferencial.
Passo 2
Lembramos a definição de derivada em
:
Se esse limite existe (e é finito), dizemos que
é derivável em
.
Passo 3
Para ver por que isso implica continuidade, escrevemos
Como
é finito, ao fazermos
obtemos
Logo
ou seja,
.
Resposta
O teorema é o seguinte:
Se
é derivável em
, então
é contínua em
.