Qual é o teorema que nos garante que se
lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h
existir, então lim x x0 f(x)=f(x0) ?

Passo 1

O enunciado pergunta qual teorema garante que, se
limh to 0f(x0+h)-f(x0)h
existe (isto é, f é derivável em x0), então
limxto x0f(x)=f(x0)
(isto é, f é contínua em x0). O conteúdo aqui é o vínculo entre derivabilidade e continuidade em cálculo diferencial.

Passo 2

Lembramos a definição de derivada em x0:
f'(x0) = limh to 0f(x0+h)-f(x0)h
Se esse limite existe (e é finito), dizemos que f é derivável em x0.

Passo 3

Para ver por que isso implica continuidade, escrevemos
f(x0+h) - f(x0) = h cdot f(x0+h)-f(x0)h
Como limhto0f(x0+h)-f(x0)h=f'(x0) é finito, ao fazermos hto0 obtemos
limhto0l(f(x0+h)-f(x0)r) = limhto0hcdot f'(x0) = 0
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limhto0f(x0+h)=f(x0),
ou seja, limxto x0f(x)=f(x0).

Resposta

O teorema é o seguinte:
Se f é derivável em x0, então f é contínua em x0.

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