Resolva as seguintes equações diferenciais:
d yd x+1x y=x^2, x neq 0

Passo 1

O problema é resolver a EDO de primeira ordem não homogênea dydx + 1xy = x^2 para xneq0. Trata-se de uma equação linear no formato dydx + P(x)y = Q(x), com P(x)=1/x e Q(x)=x^2. Vamos usar o fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) por mu(x) = expl(integral P(x),dxr)=expl(integral1xdxr)=exp(ln|x|)=|x|. Como xneq0, podemos escolher mu(x)=x. Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x e obtemos
xdydx + y = x^3

Passo 3

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de x,y, ou seja,
ddx(x,y) = x^3

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x,y = integral x^3,dx = x^44 + C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y:
y(x) = x^44x + Cx = x^34 + Cx

Resposta

y(x)=\frac{x^3}{4}+\frac{C}{x}

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