Resolva as seguintes equações diferenciais:
d yd x-2 yx=x^5 , x neq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de primeira ordem dydx-2yx=x^5, com xneq0. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Para achar o fator integrante, reconhecemos que a equação está em forma y' + P(x)y = Q(x), com P(x)=-2/x. Então
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^-2integral1x,dx=e^-2ln|x|=x^-2

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=x^-2. Assim,
x^-2dydx-2x^-3y=x^3,
e o lado esquerdo é exatamente a derivada de x^-2y, isto é,
ddx(x^-2y)=x^3

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
x^-2y=integral x^3,dx=x^44+C,

Passo 5

Finalmente, isolamos y:
y=x^2l(x^44+Cr)=x^64+Cx^2

Resposta

y=\frac{x6}{4}+Cx2

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