Calcule, caso exista:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
Passo 1
O enunciado pede para calcular vários limites (finitos, infinitos, laterais e no infinito) envolvendo funções polinomiais, racionais, radicais, valor absoluto e trigonométricas. Vamos usar propriedades de limites: substituição direta, fatoração, racionalização, limites laterais, limites fundamentais de senos e cossenos e divisão por maior potência de x no infinito.
Passo 2
Para o item a), trata-se de um polinômio. Limites de polinômios são obtidos por substituição direta. Substituindo x=1 em x3+2x2−3x+4, temos 1+2−3+4=4.
Passo 3
No item b), temos forma 0/0 em x→2. Fatoramos o numerador: x^2−4=(x−2)(x+2). Simplificando com o denominador x−2, fica x+2. Substituindo x=2 resulta 4.
Passo 4
No item c), também dá 0/0. Racionalizamos multiplicando por (√(x+1)+1)/(√(x+1)+1):
e avaliando em x→0 vem 1/(1+1)=1/2.
Passo 5
No item d), forma 0/0 em x→−1. Fatoramos numerador e denominador:
Substituindo x=−1: (−1+2)/(−1−1)=1/−2=−1/2.
Passo 6
Para o item e), temos (x−3)/|x−3|. Ao x→3−, x−3<0 logo o quociente tende a −1; ao x→3+, tende a +1. Como os laterais são diferentes, o limite não existe.
Passo 7
No item f), usamos o limite fundamental
. Escrevendo sin(2x)/x=(2)(sin(2x)/(2x)), o limite é 2·1=2.
Passo 8
No item g), usamos 1−cos x=2\sin^2(x/2). Então
Passo 9
No item h), temos forma ∞/∞. Dividindo numerador e denominador por x^2:
Passo 10
No item i), forma ∞/∞ com x→−∞. O termo dominante no numerador é x^3 e no denominador 2x^2, logo o quociente ~x/2→−∞.
Passo 11
No item j), para x→∞ dividimos por x:
Passo 12
No item k), x→−∞, mas
. Logo o quociente tende a (−x)/x=−1.
Passo 13
No item l), x→0^+ implica 1/x→+∞.
Passo 14
No item m), x→0^− implica 1/x→−∞.
Passo 15
No item n), x→2^+, x+1≈3>0 e x−2→0^+ ⇒ quociente→+∞.
Passo 16
No item o), x→2^− ⇒ x−2→0^− ⇒ quociente→−∞.
Passo 17
No item p), x→∞ ⇒1/x→0 ⇒ sin(1/x)→0.
Passo 18
No item q), x→0 ⇒ x·sin(1/x) é produto de algo que tende a 0 por algo limitado entre −1 e1, logo →0.
Passo 19
No item r), analisamos x−√(x^2+1). Racionalizando:
Passo 20
No item s), mesma expressão para x→−∞: x−√(x^2+1)≈2x→−∞.
Resposta
a) 4; b) 4; c) 1/2; d) −1/2; e) não existe; f) 2; g) 1/2; h) 2; i) −∞; j) 1; k) −1; l) +∞; m) −∞; n) +∞; o) −∞; p) 0; q) 0; r) 0; s) −∞