Calcule, caso exista:
a) limx to 1 (x^3 + 2x^2 - 3x + 4)
b) limx to 2 x^2 - 4x - 2
c) limx to 0 raizx + 1 - 1x
d) limx to -1 x^2 + 3x + 2x^2 - 1
e) limx to 3 x - 3|x - 3|
f) limx to 0 sen(2x)x
g) limx to 0 1 - cos xx^2
h) limx to infty 2x^2 - 3x + 1x^2 + 4
i) limx to -infty x^3 - 2x + 52x^2 + x - 1
j) limx to infty raizx^2 + 1x + 2
k) limx to -infty raizx^2 + 1x + 2
l) limx to 0^+ 1x
m) limx to 0^- 1x
n) limx to 2^+ x + 1x - 2
o) limx to 2^- x + 1x - 2
p) limx to infty sen ( 1x )
q) limx to 0 x sen ( 1x )
r) limx to infty (x - raizx^2 + 1)
s) limx to -infty (x - raizx^2 + 1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular vários limites (finitos, infinitos, laterais e no infinito) envolvendo funções polinomiais, racionais, radicais, valor absoluto e trigonométricas. Vamos usar propriedades de limites: substituição direta, fatoração, racionalização, limites laterais, limites fundamentais de senos e cossenos e divisão por maior potência de x no infinito.

Passo 2

Para o item a), trata-se de um polinômio. Limites de polinômios são obtidos por substituição direta. Substituindo x=1 em x3+2x2−3x+4, temos 1+2−3+4=4.

Passo 3

No item b), temos forma 0/0 em x→2. Fatoramos o numerador: x^2−4=(x−2)(x+2). Simplificando com o denominador x−2, fica x+2. Substituindo x=2 resulta 4.

Passo 4

No item c), também dá 0/0. Racionalizamos multiplicando por (√(x+1)+1)/(√(x+1)+1):
raizx+1-1x;=;(raizx+1-1)(raizx+1+1)x(raizx+1+1);=;x+1-1x(raizx+1+1);=;1raizx+1+1
e avaliando em x→0 vem 1/(1+1)=1/2.

Passo 5

No item d), forma 0/0 em x→−1. Fatoramos numerador e denominador:
x^2+3x+2x^2-1=(x+1)(x+2)(x-1)(x+1)=x+2x-1
Substituindo x=−1: (−1+2)/(−1−1)=1/−2=−1/2.

Passo 6

Para o item e), temos (x−3)/|x−3|. Ao x→3−, x−3<0 logo o quociente tende a −1; ao x→3+, tende a +1. Como os laterais são diferentes, o limite não existe.

Passo 7

No item f), usamos o limite fundamental limuto0sin uu=1. Escrevendo sin(2x)/x=(2)(sin(2x)/(2x)), o limite é 2·1=2.

Passo 8

No item g), usamos 1−cos x=2\sin^2(x/2). Então
1-cos xx^2=2sin^2(x/2)x^2=2l(sin(x/2)x/2r)^214=12

Passo 9

No item h), temos forma ∞/∞. Dividindo numerador e denominador por x^2:
2x^2-3x+1x^2+4=2-3/x+1/x^21+4/x^2to2

Passo 10

No item i), forma ∞/∞ com x→−∞. O termo dominante no numerador é x^3 e no denominador 2x^2, logo o quociente ~x/2→−∞.

Passo 11

No item j), para x→∞ dividimos por x:
raizx^2+1x+2=raiz1+1/x^21+2/xto1

Passo 12

No item k), x→−∞, mas raizx^2+1=|x|=−x. Logo o quociente tende a (−x)/x=−1.

Passo 13

No item l), x→0^+ implica 1/x→+∞.

Passo 14

No item m), x→0^− implica 1/x→−∞.

Passo 15

No item n), x→2^+, x+1≈3>0 e x−2→0^+ ⇒ quociente→+∞.

Passo 16

No item o), x→2^− ⇒ x−2→0^− ⇒ quociente→−∞.

Passo 17

No item p), x→∞ ⇒1/x→0 ⇒ sin(1/x)→0.

Passo 18

No item q), x→0 ⇒ x·sin(1/x) é produto de algo que tende a 0 por algo limitado entre −1 e1, logo →0.

Passo 19

No item r), analisamos x−√(x^2+1). Racionalizando:
;x-raizx^2+1=,-;1x+raizx^2+1to0(xtoinfty)

Passo 20

No item s), mesma expressão para x→−∞: x−√(x^2+1)≈2x→−∞.

Resposta

a) 4; b) 4; c) 1/2; d) −1/2; e) não existe; f) 2; g) 1/2; h) 2; i) −∞; j) 1; k) −1; l) +∞; m) −∞; n) +∞; o) −∞; p) 0; q) 0; r) 0; s) −∞

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