Exemplo de função em que partial^2 fpartial x partial y neq partial^2 fpartial y partial x : Considere a função
f(x, y)=l x y x^2-y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Prove que:
(b) partial fpartial y(x, 0)=x, para x neq 0.

Passo 1

A função é dada por
f(x,y)= x yx^2-y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
Queremos mostrar que, para todo xneq0,
partial fpartial y(x,0)=x
Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial em y e calcular um limite.

Passo 2

Pela definição da derivada parcial em y no ponto (x,0), temos
partial fpartial y(x,0)=limhto0f(x,0+h)-f(x,0)h

Passo 3

Para xneq0 e hneq0, a parte não trivial de f aplica-se e
f(x,h)=x,hx^2-h^2x^2+h^2,
enquanto f(x,0)=0. Então
f(x,h)-f(x,0)h=x,hx^2-h^2x^2+h^2h =xx^2-h^2x^2+h^2

Passo 4

Basta agora tomar o limite quando hto0:
limhto0xx^2-h^2x^2+h^2 =xx^2x^2=x
Esse cálculo usa a continuidade da função racional em torno de h=0 para xneq0.

Resposta

x

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