integralC f d s, onde
f(x, y)=x y e C é a interseção das superfícies x^2+y^2=4 e y+z=8.

Passo 1

Vamos calcular integralC f,ds com f(x,y)=xy e C sendo a interseção de x^2+y^2=4 e y+z=8. O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar, então precisaremos parametrizar C, obter ds e montar a integral.

Passo 2

Como x^2+y^2=4 é um cilindro de raio 2 e y+z=8 é um plano, podemos parametrizar C por um ângulo tin[0,2pi]. Uma escolha conveniente é:
r(t)=l(2cos t,;2sin t,;8-2sin tr), 0<= t<=2pi

Passo 3

Calculamos o vetor velocidade e seu módulo para achar ds. Primeiro:
r'(t)=l(-2sin t,;2cos t,;-2cos tr)
Seu módulo é
|r'(t)|=raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2+(-2cos t)^2=2raiz1+cos^2 t

Passo 4

Agora montamos a integral de linha escalar:
integralCf,ds =integral0^2pifl(r(t)r),|r'(t)|,dt
Substituindo x=2cos t, y=2sin t e f=xy:
fl(r(t)r)= (2cos t)(2sin t)=4sin tcos t,
logo a integral vira
integral0^2pi4sin tcos tcdot2raiz1+cos^2 t,dt =8integral0^2pisin tcos traiz1+cos^2 t,dt

Passo 5

Para avaliar, usamos u=cos t, du=-sin t,dt. Então
8integral0^2pisin tcos traiz1+cos^2 t,dt = -8integralu(0)=1^u(2pi)=1uraiz1+u^2,du =0
Como o limite de u volta a 1, a integral é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados