Dê um exemplo de uma função tal que o limite do exercício 7 existe, mas
não existe:
Passo 1
O enunciado pede: “Dê um exemplo de uma função tal que o limite do exercício 7 existe, mas
não existe.” Vou interpretar aqui “o limite do exercício 7” como o limite que normalmente aparece na definição de derivada, ou seja
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que estou assumindo para poder responder sem te perguntar nada):
- Queremos uma função
e um ponto tais que o limite acima exista (como número finito). - Ao mesmo tempo, queremos que
não exista.
Passo 2
Lembra da definição de derivada: a derivada de
em
é o limite (quando existe)
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função dada; -
é o ponto onde avaliamos; -
é um incremento que vai para ; - a fração
é o quociente diferencial (ou diferença quociente) que mede a razão de variação média de no intervalo de comprimento .
Passo 3
Mostro agora que os dois limites escritos (o que eu interpretei do enunciado e a definição da derivada) são a mesma quantidade, só com variáveis diferentes. Faço a mudança de variável
. Então quando
temos
e
Portanto os dois limites são idênticos:
Passo 4
Conclusão lógica: se o limite
existe como número finito, então o limite equivalente em
também existe, e esse limite é exatamente
por definição. Ou seja, não é possível ter que o primeiro limite exista e ao mesmo tempo
não exista — eles são a mesma coisa. Em termos simples: pedir que o limite da diferença quociente exista e que a derivada não exista é pedir duas coisas contraditórias, porque a derivada é definida por esse mesmo limite.
Passo 5
Por isso não há um exemplo: qualquer função para a qual
exista tem automaticamente
existindo e igual a esse limite. Se
não existe, então esse limite não existe. Prometo que isso é só a definição aparecendo — nada de pegadinhas.
Resposta
Não existe: se
existe então
existe e é igual a esse limite.