Dê um exemplo de uma função tal que o limite do exercício 7 existe, mas f^{\prime}(a) não existe:

Passo 1

O enunciado pede: “Dê um exemplo de uma função tal que o limite do exercício 7 existe, mas f^{\prime}(a) não existe.” Vou interpretar aqui “o limite do exercício 7” como o limite que normalmente aparece na definição de derivada, ou seja
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que estou assumindo para poder responder sem te perguntar nada):
  • Queremos uma função f e um ponto a tais que o limite acima exista (como número finito).
  • Ao mesmo tempo, queremos que f^{\prime}(a) não exista.

Passo 2

Lembra da definição de derivada: a derivada de f em a é o limite (quando existe)
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui cada símbolo significa:
  • f é a função dada;
  • a é o ponto onde avaliamos;
  • h é um incremento que vai para 0;
  • a fração \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é o quociente diferencial (ou diferença quociente) que mede a razão de variação média de f no intervalo de comprimento h.

Passo 3

Mostro agora que os dois limites escritos (o que eu interpretei do enunciado e a definição da derivada) são a mesma quantidade, só com variáveis diferentes. Faço a mudança de variável x=a+h. Então quando h\to 0 temos x\to a e
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Portanto os dois limites são idênticos:
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

Passo 4

Conclusão lógica: se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
existe como número finito, então o limite equivalente em h também existe, e esse limite é exatamente f'(a) por definição. Ou seja, não é possível ter que o primeiro limite exista e ao mesmo tempo f'(a) não exista — eles são a mesma coisa. Em termos simples: pedir que o limite da diferença quociente exista e que a derivada não exista é pedir duas coisas contraditórias, porque a derivada é definida por esse mesmo limite.

Passo 5

Por isso não há um exemplo: qualquer função para a qual
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
exista tem automaticamente f'(a) existindo e igual a esse limite. Se f'(a) não existe, então esse limite não existe. Prometo que isso é só a definição aparecendo — nada de pegadinhas.

Resposta

Não existe: se \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} existe então f'(a) existe e é igual a esse limite.

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