Exemplo 1.5.7. Hugo deve ter aula de tenis três vezes por semana, durante um semestre. Quantos são os modos de escolher os dias de aula, se Hugo não deseja ter aulas em dias consecutivos?
Passo 1
O Hugo vai escolher
dias dentre os
dias da semana, com a restrição de que não haja dias consecutivos. O conteúdo é “combinações sem elementos consecutivos” e vamos resolver isso modelando os dias livres como “espaços” entre as aulas, usando o método de “estrelas e barras”.
Passo 2
Denotemos por
número de dias livres antes da primeira aula,
dias livres entre a
ª e a
ª aula,
dias livres entre a
ª e a
ª aula,
dias livres após a última aula.
Para não termos aulas em dias consecutivos, é preciso que
Para não termos aulas em dias consecutivos, é preciso que
enquanto
Como há
dias e
são ocupados por aulas, a soma total dos dias livres é
. Portanto
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
de modo que agora
,
e a soma fica
com todas as quatro variáveis
. O número de soluções não negativas dessa equação por “estrelas e barras” é