Exemplo 1.5.7. Hugo deve ter aula de tenis três vezes por semana, durante um semestre. Quantos são os modos de escolher os dias de aula, se Hugo não deseja ter aulas em dias consecutivos?

Passo 1

O Hugo vai escolher 3 dias dentre os 7 dias da semana, com a restrição de que não haja dias consecutivos. O conteúdo é “combinações sem elementos consecutivos” e vamos resolver isso modelando os dias livres como “espaços” entre as aulas, usando o método de “estrelas e barras”.

Passo 2

Denotemos por
g0 = número de dias livres antes da primeira aula,
g1 = dias livres entre a 1ª e a 2ª aula,
g2 = dias livres entre a 2ª e a 3ª aula,
g3 = dias livres após a última aula.
Para não termos aulas em dias consecutivos, é preciso que
g1>=1, g2>=1,
enquanto
g0>=0, g3>=0
Como há 7 dias e 3 são ocupados por aulas, a soma total dos dias livres é 7-3=4. Portanto
g0+g1+g2+g3=4

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
g1'=g1-1, g2'=g2-1,
de modo que agora g1'>=0, g2'>=0 e a soma fica
g0+g1'+g2'+g3=4-2=2,
com todas as quatro variáveis >=0. O número de soluções não negativas dessa equação por “estrelas e barras” é
binom2+4-14-1=binom53=10

Resposta

10 modos de escolher os dias de aula sem ter dias consecutivos.

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