Exercício 1.5.8. De quantos modos é possível formar uma roda de ciranda com 7 meninas e 12 meninos sem que haja duas meninas em posições adjuacentes?

Passo 1

O enunciado pede contar de quantas formas podemos sentar 7 meninas e 12 meninos em uma roda (permutação circular) de modo que não haja duas meninas em posições adjacentes. Vamos usar a técnica de primeiro arranjar os meninos em círculo e depois inserir as meninas entre eles.

Passo 2

Arranjamos os 12 meninos em círculo. Sabemos que o número de permutações circulares de n objetos é (n-1)!. Aqui, n=12, logo há
(12-1)! = 11!
maneiras de dispor os meninos.

Passo 3

Depois de fixar o círculo de meninos, há exatamente 12 espaços entre cada par de meninos consecutivos onde podemos colocar as meninas de forma que elas não fiquem adjacentes.

Passo 4

De todos esses 12 espaços, escolhemos 7 para acomodar as meninas. A escolha dos espaços pode ser feita em
binom127
formas. Em seguida, permutamos as 7 meninas nos espaços escolhidos, o que dá mais 7! arranjos.

Passo 5

Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos válidos é o produto das escolhas:
(12-1)!times binom127times 7!

Resposta

11!,binom127,7!

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