Exercício 1.5.8. De quantos modos é possível formar uma roda de ciranda com 7 meninas e 12 meninos sem que haja duas meninas em posições adjuacentes?
Passo 1
O enunciado pede contar de quantas formas podemos sentar
meninas e
meninos em uma roda (permutação circular) de modo que não haja duas meninas em posições adjacentes. Vamos usar a técnica de primeiro arranjar os meninos em círculo e depois inserir as meninas entre eles.
Passo 2
Arranjamos os
meninos em círculo. Sabemos que o número de permutações circulares de
objetos é
. Aqui,
, logo há
maneiras de dispor os meninos.
Passo 3
Depois de fixar o círculo de meninos, há exatamente
espaços entre cada par de meninos consecutivos onde podemos colocar as meninas de forma que elas não fiquem adjacentes.
Passo 4
De todos esses
espaços, escolhemos
para acomodar as meninas. A escolha dos espaços pode ser feita em
formas. Em seguida, permutamos as
meninas nos espaços escolhidos, o que dá mais
arranjos.
Passo 5
Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos válidos é o produto das escolhas: