Exemplo 1.5.5. De quantos modos podemos escolher 4 sorvetes numa loja que oferece 7 sabores?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de escolher 4 sorvetes numa loja que oferece 7 sabores, permitindo repetições e sem importar a ordem. O conteúdo é combinações com repetição, e vamos usar o método de “estrelas e barras”.

Passo 2

Para modelar, seja xi o número de sorvetes do sabor i ( i=1,2,dots,7). Como escolhemos 4 sorvetes no total, temos
x1 + x2 + cdots + x7 = 4,
com xi>= 0 inteiro. Contar soluções não-negativas desse tipo equivale a combinações de 7 tipos com 4 elementos repetidos.

Passo 3

A fórmula de combinações com repetição é
binomn + r - 1r,
onde n é o número de sabores e r o número de sorvetes. Aqui n=7 e r=4, então
binom7 + 4 - 14 = binom104

Passo 4

Calculando
binom104 = 10 cdot 9 cdot 8 cdot 74 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 210

Resposta

210

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