Exemplo 9: Uma indústria realiza tratamentos térmicos em ligas metálicas para melhorar sua resistência. O processo é terceirizado entre duas usinas: Usina X e Usina Y. A probabilidade de uma peça ter sido tratada pela Usina X é de 70 %, e pela Usina Y é de 30 %. A probabilidade de uma peça tratada pela Usina X apresentar falha é de 5 %; já para a Usina Y, é de 10 %.
Uma peça foi testada e não atingiu a resistência mínima exigida. Qual é a probabilidade de que o tratamento dessa peça tenha sido feito pela Usina Y ?

Passo 1

O enunciado trata de um problema de probabilidade condicional, em que cada peça é tratada ou pela Usina X (com probabilidade de 70%) ou pela Usina Y (com probabilidade de 30%). Sabendo que a probabilidade de falha (não atingir a resistência mínima) é de 5% para peças de X e de 10% para peças de Y, queremos calcular a probabilidade de que uma peça que falhou tenha sido tratada pela Usina Y. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Denotemos o evento
;X = “peça tratada pela Usina X”,
;Y = “peça tratada pela Usina Y”,
;F = “peça apresenta falha”.
Temos os dados:
P(X)=0,70, P(Y)=0,30,
P(Fmid X)=0,05, P(Fmid Y)=0,10

Passo 3

Primeiro calculamos a probabilidade total de falha P(F) pelo Teorema da Probabilidade Total:
P(F)=P(X),P(Fmid X)+P(Y),P(Fmid Y) =0,70cdot0,05+0,30cdot0,10 =0,035+0,030 =0,065

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar P(Ymid F):
P(Ymid F) =P(Y),P(Fmid Y)P(F) =0,30cdot0,100,065 =0,0300,065 approx0,4615

Resposta

A probabilidade de que a peça que falhou tenha sido tratada pela Usina Y é de aproximadamente 46,15%.

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