Exemplo 9: Uma indústria realiza tratamentos térmicos em ligas metálicas para melhorar sua resistência. O processo é terceirizado entre duas usinas: Usina
e Usina
. A probabilidade de uma peça ter sido tratada pela Usina
é de
, e pela Usina
é de
. A probabilidade de uma peça tratada pela Usina
apresentar falha é de
; já para a Usina
, é de
.
Uma peça foi testada e não atingiu a resistência mínima exigida. Qual é a probabilidade de que o tratamento dessa peça tenha sido feito pela Usina
?
Passo 1
O enunciado trata de um problema de probabilidade condicional, em que cada peça é tratada ou pela Usina
(com probabilidade de
) ou pela Usina
(com probabilidade de
). Sabendo que a probabilidade de falha (não atingir a resistência mínima) é de
para peças de
e de
para peças de
, queremos calcular a probabilidade de que uma peça que falhou tenha sido tratada pela Usina
. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes.
Passo 2
Denotemos o evento
“peça tratada pela Usina
”,
“peça tratada pela Usina
”,
“peça apresenta falha”.
Temos os dados:
Temos os dados:
Passo 3
Primeiro calculamos a probabilidade total de falha
pelo Teorema da Probabilidade Total:
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar
:
Resposta
A probabilidade de que a peça que falhou tenha sido tratada pela Usina
é de aproximadamente
.