Exercício 2 A resistência (em quilo-ohms) de resistores produzidos por uma empresa segue a função de probabilidade abaixo:
Resistência (k cccccc hline Resistência (k $Omega$ ) & 2,2 & 3,3 & 4,7 & 5,6 & 6,8 hline Probabilidade & 0,1 & 0,1 & 0,4 & 0,2 & 0,2 hline ) 2,2 3,3 4,7 5,6 6,8
Probabilidade 0,1 0,1 0,4 0,2 0,2
Os resistores são aprovados para uso em circuitos se sua resistência for de pelo menos 3,3 k Omega. De um grande lote, selecionamos 15 resistores.
(a)) Qual a probabilidade de todos os resistores selecionados serem aptos para uso em circuitos?
(b)) Qual a probabilidade de no mínimo 13 serem aptos?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade da resistência R (em k Omega) com valores e probabilidades:
c|ccccc R & 2,2 & 3,3 & 4,7 & 5,6 & 6,8hline P(R) & 0,1 & 0,1 & 0,4 & 0,2 & 0,2
Aprova-se o resistor se R>=3,3. Como vamos selecionar n=15 unidades de forma independente, definimos X = número de aprovados. Então XsimBin(n=15,p), onde p=P(R>=3,3).

Passo 2

Calculamos p, a probabilidade de um resistor ser aprovado:
p = P(R=3,3)+P(R=4,7)+P(R=5,6)+P(R=6,8) =0,1+0,4+0,2+0,2=0,9

Passo 3

(a) Queremos P(todos aprovados)=P(X=15). Pela fórmula da binomial,
P(X=15)=binom1515,p^15(1-p)^0=0,9^15

Passo 4

(b) Queremos P(X>=13)=P(X=13)+P(X=14)+P(X=15). Em binomial,
P(X=k)=binom15k,0,9^k,0,1^15-k
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P(X>=13) =sumk=13^15binom15k,0,9^k,0,1^15-k

Resposta

(a) 0,9^15approx0,2064.
(b) sumk=13^15binom15k,0,9^k,0,1^15-kapprox0,8180.

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