O setor de tornearia de uma fábrica dispõe de três tornos. A probabilidade de um torno necessitar de reparos em um dia de operação é de 5%. Estando em reparo, este torno tem probabilidade de voltar a funcionar no dia seguinte. A operação diária com um torno gera um lucro de 200 [R$]. Estando em reparo, gera uma despesa de 250 [R$] ao dia. Responda as questões a seguir ( 2,5 pontos):
a) Descreva o problema, modele o diagrama de transição de estados e encontre a matriz estocástica;
b) Determine o estado de equilibrio (a partir da equação de equilibrio) e o número esperado de tornos em funcionamento para este estado;
c) Calcular o lucro médio diário e a despesa média diária no setor de tornearia.
Nota: As operações com matrizes deverão ser realizadas manualmente.

Passo 1

O problema envolve três tornos independentes que, a cada dia, podem estar em funcionamento (estado ) ou em reparo (estado ). A probabilidade de um torno em necessitar de reparo no dia seguinte é de e, estando em , a probabilidade de voltar a no dia seguinte é de . Cada torno em gera lucro de R$ por dia e cada torno em gera despesa de R$ por dia. Vamos modelar a cadeia de Markov de um único torno, montar a matriz de transição, achar a distribuição de equilíbrio e daí calcular o número esperado de tornos em funcionamento e os lucros e despesas médias diárias do setor.

Passo 2

O diagrama de transição para um torno é:
F xrightarrow0,05 R, F xrightarrow0,95 F
R xrightarrow0,25 F, R xrightarrow0,75 R
A matriz estocástica, tomando a convenção de linhas como estado atual e colunas como estado futuro (F,R), é
P = 0,95 & 0,05 0,25 & 0,75

Passo 3

Para a distribuição de equilíbrio pi=(piF,piR) satisfazemos
pi = pi,P, piF + piR =1
Da primeira coordenada vem
piF = 0,95,piF + 0,25,piR Longrightarrow piF = 0,95,piF + 0,25,(1-piF)
piF = 0,95,piF + 0,25 - 0,25,piF Longrightarrow piF,(1 -0,95 +0,25) = 0,25 Longrightarrow piF = 0,250,30 = 56 approx 0,8333
Logo piR=1-piF=tfrac16approx0,1667.

Passo 4

O número esperado de tornos em funcionamento, no regime estacionário, é
E[tornos em F] = 3 times piF = 3 times 56 = 2,5

Passo 5

A receita média diária gerada pelos tornos em F é
Lucro médio = 200 times E[tornos em F] = 200 times 2,5 = 500 R$ é
A despesa média diária com tornos em R é
E[tornos em R] = 3 times piR = 3 times 16 = 0,5
Despesa média = 250 times 0,5 = 125 R$ é

Resposta

Distribuição de equilíbrio: piF=5/6, piR=1/6
Número médio de tornos em funcionamento: 2,5
Lucro médio diário: R$ (500) Despesa média diária: R
Despesa média diária: R$ 125

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