Dê um exemplo de uma matriz real normal que não seja simétrica, anti-simétrica ou unitária.

13. Formas quadráticas

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de matriz real A que seja normal, isto é, satisfaça
A A^T = A^T A,
e que não seja nem simétrica ( A neq A^T), nem anti-simétrica ( A^T neq -A), nem unitária ( A A^T neq I). Recordando a definição, uma matriz real AinR^ntimes n é normal se e somente se commute com sua transposta:
A A^T = A^T A
Para mostrar que nossa escolha é normal, basta calcular ambos os produtos e comparar.

Passo 2

Escolhemos
A = 2 & -1 [6pt] 1 & 2
Vamos calcular A A^T:
A A^T = 2 & -1 [3pt] 1 & 2 2 & 1 [3pt] -1 & 2 = 2cdot2 + (-1)cdot(-1) & 2cdot1 + (-1)cdot2 [3pt] 1cdot2 + 2cdot(-1) & 1cdot1 + 2cdot2 = 5 & 0 [3pt] 0 & 5
De modo análogo,
A^T A = 2 & 1 [3pt] -1 & 2 2 & -1 [3pt] 1 & 2 = 5 & 0 [3pt] 0 & 5
Como A A^T = A^T A = 5I, a matriz A é normal.]

Passo 3

Verificamos que A não é simétrica, pois
A^T = 2 & 1 [3pt] -1 & 2 neq 2 & -1 [3pt] 1 & 2 = A
Verificamos que A não é anti-simétrica, pois não vale A^T = -A.
Por fim, A não é unitária, já que A A^T = 5I neq I.]

Resposta

Um exemplo é
A = 2 & -1 [3pt] 1 & 2,
que é normal, mas não simétrica, nem anti-simétrica, nem unitária.]

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