Dê um exemplo de uma matriz real normal que não seja simétrica, anti-simétrica ou unitária.
13. Formas quadráticas
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de matriz real
que seja normal, isto é, satisfaça
e que não seja nem simétrica (
), nem anti-simétrica (
), nem unitária (
). Recordando a definição, uma matriz real
é normal se e somente se commute com sua transposta:
Para mostrar que nossa escolha é normal, basta calcular ambos os produtos e comparar.
Passo 2
Escolhemos
Vamos calcular
:
De modo análogo,
Como
, a matriz
é normal.]
Passo 3
Verificamos que
não é simétrica, pois
Verificamos que
não é anti-simétrica, pois não vale
.
Por fim, não é unitária, já que
.]
Por fim,
Resposta
Um exemplo é
que é normal, mas não simétrica, nem anti-simétrica, nem unitária.]