Exercício 1. (Wong ex. 1.1) Ache os símbolos de cada um dos operadores diferenciais abaixo:
partialpartial x1+i partial^2partial x2^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os símbolos dos operadores diferenciais
partialpartial x1 e ipartial^2partial x2^2
O conteúdo é a teoria de símbolos de operadores diferenciais, em que substituímos cada derivada partial/partial xj por i,xij.

Passo 2

Em geral, se
P(D)=sum|alpha|<= maalpha(x),D^alpha,
onde Dj=-i,partial/partial xj e alpha=(alpha1,dots,alphan), então o símbolo de P é
p(x,xi)=sum|alpha|<= maalpha(x),xi^alpha,
e, em particular para coeficientes constantes, basta trocar partial/partial xj por i,xij.

Passo 3

Para o operador
partialpartial x1,
substituímos
partial/partial x1mapsto i,xi1.
Logo o símbolo é
sigma!l(tfracpartialpartial x1r)=i,xi1

Passo 4

Para o operador
partial^2partial x2^2,
cada derivada dá um fator i,xi2, então
sigma!l(tfracpartial^2partial x2^2r) =(i,xi2)^2=-xi2^2

Passo 5

Multiplicando por i, o símbolo de
i,partial^2partial x2^2
é
sigma!l(i,tfracpartial^2partial x2^2r) =icdotl(-xi2^2r)=-,i,xi2^2

Passo 6

Finalmente, o símbolo do operador
partialpartial x1 +i,partial^2partial x2^2
é a soma dos símbolos anteriores:
sigma(total) =i,xi1-i,xi2^2 =i,l(xi1-xi2^2r)

Resposta

sigma!(partialpartial x1) = i xi1
sigma!(partial^2partial x2^2) = -xi2^2
sigma!(i,partial^2partial x2^2) = -i,xi2^2
sigma!(partialpartial x1 + i,partial^2partial x2^2) = i,xi1 - i,xi2^2

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