Exercício 1. (Wong ex. 1.1) Ache os símbolos de cada um dos operadores diferenciais abaixo:
partialpartial x1+partial^2partial x2^2.

Passo 1

O enunciado dá o operador diferencial
P = partialpartial x1 + partial^2partial x2^2
e pede seu símbolo no sentido de PDE. Vamos usar a definição de símbolo: se
P=sum|alpha|<= maalpha(x),partial^alpha,
então o símbolo total é
p(x,xi)=sum|alpha|<= maalpha(x),(ixi)^alpha,
e o símbolo principal é a parte de grau m em xi.

Passo 2

Identificamos os multiíndices e coeficientes de P:
  • Para partial/partial x1, o multiíndice é alpha=(1,0) e o coeficiente a(1,0)=1.
  • Para partial^2/partial x2^2, o multiíndice é alpha=(0,2) e o coeficiente a(0,2)=1.
    O grau máximo m é 2.

Passo 3

Aplicando a regra de substituição partial^alphamapsto (ixi)^alpha, obtemos o símbolo total
p(x,xi) =1cdot(ixi1)^1+1cdot(ixi2)^2 =i,xi1 - xi2^2

Passo 4

O símbolo principal é a parte de grau m=2 em xi, ou seja, só o termo vindo de partial^2/partial x2^2. Logo
p2(x,xi)= (ixi2)^2 = -,xi2^2

Resposta

Símbolo total: ;p(x,xi)=i,xi1-xi2^2
Símbolo principal: ;p2(x,xi)=-,xi2^2

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