Exercício 1. (Wong ex. 1.1) Ache os símbolos de cada um dos operadores diferenciais abaixo:
partial^2partial x1^2-partial^2partial x2^2.

Passo 1

O enunciado pede o símbolo do operador diferencial
P ;=;partial^2partial x1^2;-;partial^2partial x2^2
Aqui o conteúdo é a teoria de símbolos de operadores diferenciais: se
P=sum|alpha|<= maalpha(x),partial^alpha,
então o símbolo total é
p(x,xi)=sum|alpha|<= maalpha(x),xi^alpha,
e o símbolo principal (de ordem m) pega só os termos com |alpha|=m. Como P tem coeficientes constantes e ordem 2, seu símbolo não dependerá de x e todos os termos são de ordem máxima.

Passo 2

Aplicando a definição, para cada termo a gente substitui
partial/partial xj por xij. Assim:
  • O símbolo de partial^2/partial x1^2 é xi1^2.
  • O símbolo de partial^2/partial x2^2 é xi2^2.

Passo 3

Como o operador P é a diferença desses dois termos, o símbolo de P é simplesmente a diferença dos símbolos:
p(xi);=;xi1^2;-;xi2^2

Resposta

O símbolo do operador partial^2partial x1^2-partial^2partial x2^2 é
boxedp(xi)=xi1^2-xi2^2

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