Exemplo 1 - Um método titulométrico usado na determinação de cálcio em calcário foi testado pela análise de um calcário de referência contendo 30,15 \% de CaO . 0 resultado médio de 30 análises, para controle, foi de 30,26 \% de CaO , com desvio padrão de 0,094 \%. Os dados indicam a presença de erros sistemáticos, a um nível de confiança de 95 \% ?
z=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{N}}

Passo 1

O enunciado descreve um método titulométrico usado para determinar CaO em calcário de referência cujo teor verdadeiro é \mu_0 = 30,15\%. Foram feitas N=30 análises, obtendo-se média \bar{x} = 30,26\% e desvio padrão \sigma = 0,094\%. Queremos testar, a 95\% de confiança, se existe erro sistemático, isto é, se \mu difere de \mu_0, usando a estatística
z = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{N}}.

Passo 2

Formulamos as hipóteses em teste bilateral com nível de significância \alpha=0,05:
H_0: \mu = 30,15\%,\qquad H_1: \mu \neq 30,15\%.

Passo 3

Calcular a estatística de teste. Primeiro escrevemos
z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{N}}.
Substituindo \bar{x}=30,26\%, \mu_0=30,15\%, \sigma=0,094\% e N=30, temos
z = \frac{30,26\% - 30,15\%}{0,094\% / \sqrt{30}} = \frac{0,11\%}{0,094\% / 5,477} \approx \frac{0,11}{0,01717} \approx 6,41.

Passo 4

O valor crítico para \alpha=0,05 em teste bilateral é
z_{0,975} = 1,96,
logo a região de aceitação é [-1,96,\,1,96].

Passo 5

Como z\approx 6,41 está fora de [-1,96,1,96], rejeitamos H_0.

Resposta

Sim, há evidência de erro sistemático, pois z\approx 6,41 ultrapassa o valor crítico \pm1,96.

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