Exemplo 9: Uma mistura binária contendo etano e propano deve ser destilada com o objetivo de recuperar 95% do etano no destilado e 90 \% do propano no resíduo. Qual deverá ser a composição do destilado e do resíduo em base mássica, se a fração em quantidade de matéria do etano e do propano na carga sãoiguais?

Passo 1

O enunciado pede que a mistura binária etano + propano seja destilada de modo que se recupere 95\% do etano no destilado e 90\% do propano no resíduo. A pergunta é: quais serão as composições em base mássica (frações ou porcentagens em massa) do destilado e do resíduo, sabendo que a fração em quantidade de matéria (fração molar) do etano e do propano na carga são iguais. Informações relevantes dadas:
\text{fração molar do etano na carga} = \text{fração molar do propano na carga} = 0{,}5.çãçã
Recuperações (em base molar):
\text{etano: }95\%\text{ no destilado},\qquad \text{propano: }90\%\text{ no resíduo}.í
Objetivo: encontrar a composição em base mássica do destilado e do resíduo (ou seja, frações de massa de etano e de propano em cada corrente).

Passo 2

Escolhemos uma base de cálculo simples (isso não altera a resposta, só facilita as contas). Vou tomar 1 mol de carga total:
F = 1\\ \text{mol},\qquad z_{E}=0{,}5,\qquad z_{P}=0{,}5.
Assim as quantidades molares na carga são:
N_{E,F}=z_{E}F=0{,}5\\ \text{mol},\qquad N_{P,F}=z_{P}F=0{,}5\\ \text{mol}.
Explicação rápida: escolher F=1 mol é uma conveniência comum — todas as porcentagens e frações serão as mesmas para qualquer outra base porque o problema é linear.

Passo 3

Usamos as recuperações para achar quantidades molares de cada componente nas correntes destilado ( D) e resíduo ( B):
Definição: “recuperar x\% de um componente no destilado” significa que x\% da quantidade molar desse componente da carga aparece em D. Do mesmo modo para o resíduo.
Para o etano:
N_{E,D}=0{,}95\cdot N_{E,F}=0{,}95\cdot 0{,}5=0{,}475\\ \text{mol},
logo a quantidade molar de etano no resíduo é
N_{E,B}=N_{E,F}-N_{E,D}=0{,}5-0{,}475=0{,}025\\ \text{mol}.
Para o propano (dado que 90\% do propano vai para o resíduo):
N_{P,B}=0{,}90\cdot N_{P,F}=0{,}90\cdot 0{,}5=0{,}45\\ \text{mol},
logo a quantidade molar de propano no destilado é
N_{P,D}=N_{P,F}-N_{P,B}=0{,}5-0{,}45=0{,}05\\ \text{mol}.
Verificação de balanço total de mols:
D=N_{E,D}+N_{P,D}=0{,}475+0{,}05=0{,}525\\ \text{mol},
B=N_{E,B}+N_{P,B}=0{,}025+0{,}45=0{,}475\\ \text{mol},
e D+B=0{,}525+0{,}475=1{,}0=F — ótimo.

Passo 4

Agora vamos converter quantidades molares em massas para obter composições em base mássica. Primeiro calculamos as massas molares (usar massas atômicas próximas: M_C=12{,}011\\ \text{g/mol}, M_H=1{,}008\\ \text{g/mol}):
Massa molar do etano (\text{C}_2\text{H}_6):
M_E = 2\cdot 12{,}011 + 6\cdot 1{,}008 = 24{,}022 + 6{,}048 = 30{,}070\\ \text{g/mol}.
Massa molar do propano (\text{C}_3\text{H}_8):
M_P = 3\cdot 12{,}011 + 8\cdot 1{,}008 = 36{,}033 + 8{,}064 = 44{,}097\\ \text{g/mol}.
(Aqui eu arredondei para três casas decimais; é o procedimento padrão.)

Passo 5

Calcule as massas de cada componente nas correntes usando m = n\cdot M.
No destilado ( D):
m_{E,D}=N_{E,D}\cdot M_E = 0{,}475\cdot 30{,}070 = 14{,}28325\\ \text{g},
m_{P,D}=N_{P,D}\cdot M_P = 0{,}05\cdot 44{,}097 = 2{,}20485\\ \text{g}.
Massa total do destilado:
m_{D}=m_{E,D}+m_{P,D}=14{,}28325+2{,}20485=16{,}48810\\ \text{g}.
No resíduo ( B):
m_{E,B}=N_{E,B}\cdot M_E = 0{,}025\cdot 30{,}070 = 0{,}75175\\ \text{g},
m_{P,B}=N_{P,B}\cdot M_P = 0{,}45\cdot 44{,}097 = 19{,}84365\\ \text{g}.
Massa total do resíduo:
m_{B}=m_{E,B}+m_{P,B}=0{,}75175+19{,}84365=20{,}59540\\ \text{g}.
(Observação: pequenas diferenças de arredondamento são aceitáveis; o balanço total de massa tem que ser consistente se usarmos valores exatos.)

Passo 6

Agora calculamos as frações mássicas (e transformar em porcentagem, se preferir).
Frações mássicas no destilado:
w_{E,D}=\frac{m_{E,D}}{m_{D}}=\frac{14{,}28325}{16{,}48810}\approx 0{,}8663\quad\text{(fração mássica)},çãá
w_{P,D}=\frac{m_{P,D}}{m_{D}}=\frac{2{,}20485}{16{,}48810}\approx 0{,}1337.
Em porcentagem:
w_{E,D}\approx 86{,}63\%,\qquad w_{P,D}\approx 13{,}37\%.
Frações mássicas no resíduo:
w_{E,B}=\frac{m_{E,B}}{m_{B}}=\frac{0{,}75175}{20{,}59540}\approx 0{,}0365,
w_{P,B}=\frac{m_{P,B}}{m_{B}}=\frac{19{,}84365}{20{,}59540}\approx 0{,}9635.
Em porcentagem:
w_{E,B}\approx 3{,}65\%,\qquad w_{P,B}\approx 96{,}35\%.

Passo 7

Interpretação final rápida e encorajamento: o destilado fica rico em etano (pois etano é o mais leve e desejou-se alta recuperação no destilado) — cerca de 86{,}6\% em massa de etano. O resíduo fica majoritariamente propano — cerca de 96{,}4\% em massa de propano. Se você mudar a base (por exemplo F=100 mol) as porcentagens permanecem as mesmas. Força aí — você já consegue fazer esse tipo de balanço em prova com esse passo a passo!

Resposta

Destilado (base mássica): etano 86{,}63\%, propano 13{,}37\%
Resíduo (base mássica): etano 3{,}65\%, propano 96{,}35\%

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