Exemplo 5: A destilação envolve a separação de dois ou mais componentes com base em suas volatilidades. Uma corrente de 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} contendo 50 \% de benzeno e 50 \% de tolueno (por massa) é alimentada em uma coluna de destilação para obter uma corrente rica em benzeno no topo (destilado) e uma corrente rica em tolueno na base (produto de fundo). Noventa por cento do benzeno alimentados na coluna sāo retirados no destilado, que tem uma pureza de 99 \%. Calcule as taxas mássica e molar e as composições de ambas as correntes de produtos.

Passo 1

O enunciado descreve uma coluna de destilação com uma alimentação e pede as taxas mássica e molar e as composições das correntes de produto (destilado e fundo). Informações dadas pelo enunciado:
  • Taxa mássica da alimentação: \;F=1000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Composição mássica da alimentação: 50\% benzeno e 50\% tolueno, ou seja
    \;m_{B,F}=0{,}50F e \;m_{T,F}=0{,}50F.
  • Fração do benzeno da alimentação que sai no destilado: 90\%.
  • Pureza do destilado (por massa): 99\% benzeno.
  • É pedido:
    • taxas mássicas ( \mathrm{kg/h}) de destilado D e fundo B;
    • taxas molares ( \mathrm{mol/h}) de D e B;
    • composições (tanto mássica quanto molar) de D e B.
      Observação: vou usar massas molares típicas:
  • massa molar do benzeno: \;M_B=78{,}11\\ \mathrm{g/mol}.
  • massa molar do tolueno: \;M_T=92{,}14\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 2

Primeiro calculemos as massas (kg/h) de cada componente na alimentação, porque isso é o ponto de partida para os balanços de massa.
  • Massa de benzeno na alimentação: m_{B,F}=0{,}50\cdot F = 0{,}50\cdot 1000 = 500\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa de tolueno na alimentação: m_{T,F}=0{,}50\cdot F = 500\\ \mathrm{kg/h}.
Explicação didática: quando o enunciado dá composição por massa, multiplicamos a taxa mássica total pela fração mássica para obter a massa de cada componente por hora.

Passo 3

Use o dado “ 90\% do benzeno alimentado sai no destilado” para encontrar a massa de benzeno no destilado.
  • Massa de benzeno no destilado: m_{B,D}=0{,}90\cdot m_{B,F}=0{,}90\cdot 500 = 450\\ \mathrm{kg/h}.
Explicação didática: isto é um balanço de componente (benzeno). Não usamos aqui nenhum modelo de coluna, apenas conservação de massa do componente.

Passo 4

A pureza do destilado é 99\% benzeno por massa. Assim a massa total do destilado D é a massa de benzeno no destilado dividida pela sua fração mássica no destilado:
D=\frac{m_{B,D}}{0{,}99}=\frac{450}{0{,}99}=454{,}545\ldots\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondarei quando necessário, mas mantenho valores com precisão suficiente para os cálculos seguintes.
Explicação didática: pureza por massa significa que \;w_{B,D}=0{,}99 e m_{B,D}=w_{B,D}\,D, daí D=m_{B,D}/w_{B,D}.

Passo 5

Agora conseguimos as massas de tolueno no destilado e as massas no fundo por simples subtrações (balanços de componente e balanço total).
  • Massa de tolueno no destilado: m_{T,D}=D-m_{B,D}=454{,}545\ldots -450 = 4{,}545\ldots\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa total no fundo (produto de fundo): B=F-D=1000-454{,}545\ldots =545{,}454\ldots\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa de benzeno no fundo: m_{B,B}=m_{B,F}-m_{B,D}=500-450=50\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa de tolueno no fundo: m_{T,B}=m_{T,F}-m_{T,D}=500-4{,}545\ldots =495{,}454\ldots\\ \mathrm{kg/h}.
Explicação didática: conserva-se cada componente (entrada = saída em todas as correntes juntas) e também a massa total (F = D + B).

Passo 6

Calcule as composições mássicas (frações mássicas) de cada corrente — é simples e muito usado em prova.
  • Frações mássicas no destilado: w_{B,D}=\frac{m_{B,D}}{D}=\frac{450}{454{,}545\ldots}=0{,}99, \qquad w_{T,D}=1-w_{B,D}=0{,}01.
  • Frações mássicas no fundo: w_{B,B}=\frac{m_{B,B}}{B}=\frac{50}{545{,}454\ldots}=0{,}091666\ldots\quad(\approx 0{,}09167),
w_{T,B}=1-w_{B,B}=0{,}908333\ldots\quad(\approx 0{,}90833).
Explicação didática: a fração mássica de um componente é a massa do componente dividida pela massa total da corrente. É comum apresentar em fração ou em porcentagem (multiplicar por 100).

Passo 7

Agora passemos para as taxas molares. Lembre que:
  • para converter massa (em \mathrm{kg}) para mols usamos a massa molar em \mathrm{g/mol}: n\;(\mathrm{mol/h})=\frac{m\;(\mathrm{kg/h})\times 1000\;(\mathrm{g/kg})}{M\;(\mathrm{g/mol})}.
Vou converter cada componente em cada corrente usando \;M_B=78{,}11\\ \mathrm{g/mol} e \;M_T=92{,}14\\ \mathrm{g/mol}.
  • Distilado: n_{B,D}=\frac{450\cdot 1000}{78{,}11}=5761{,}106\\ \mathrm{mol/h},
n_{T,D}=\frac{4{,}545454\cdot 1000}{92{,}14}=49{,}335\\ \mathrm{mol/h}.
n_{D}=n_{B,D}+n_{T,D}=5761{,}106+49{,}335=5810{,}441\\ \mathrm{mol/h}.
  • Fundo: n_{B,B}=\frac{50\cdot 1000}{78{,}11}=640{,}123\\ \mathrm{mol/h},
n_{T,B}=\frac{495{,}454545\cdot 1000}{92{,}14}=5374{,}821\\ \mathrm{mol/h}.
n_{B}=n_{B,B}+n_{T,B}=640{,}123+5374{,}821=6014{,}944\\ \mathrm{mol/h}.
Explicação didática: convertendo massa em gramas e dividindo pela massa molar obtemos mols. Sempre verifique que a soma das taxas molares dos produtos iguala a soma das taxas molares da alimentação (cheque de consistência).

Passo 8

Calcule as composições molares (frações molares) de cada corrente:
  • Para o destilado: x_{B,D}=\frac{n_{B,D}}{n_{D}}=\frac{5761{,}106}{5810{,}441}=0{,}99151\\ (\approx 0{,}9915),
x_{T,D}=1-x_{B,D}=0{,}00849\\ (\approx 0{,}0085).
  • Para o fundo: x_{B,B}=\frac{n_{B,B}}{n_{B}}=\frac{640{,}123}{6014{,}944}=0{,}10640\\ (\approx 0{,}1064),
x_{T,B}=1-x_{B,B}=0{,}89360\\ (\approx 0{,}8936).
Explicação didática: fração molar é número de mols do componente dividido pelo número total de mols na corrente. Note que a pureza em massa não é exatamente igual à pureza em mol (porque os pesos moleculares diferem).

Passo 9

Cheque rápido de consistência (boa prática em prova): somas e balanços.
  • Balanço de massa: D+B=454{,}545\ldots+545{,}454\ldots=1000\\ \mathrm{kg/h}=F.
  • Balanço de benzeno: m_{B,D}+m_{B,B}=450+50=500\\ \mathrm{kg/h}=m_{B,F}.
  • Balanço de tolueno: 4{,}545\ldots+495{,}454\ldots=500\\ \mathrm{kg/h}=m_{T,F}.
  • Em mols: n_{D}+n_{B}=5810{,}441+6014{,}944=11825{,}385\\ \mathrm{mol/h} que corresponde à soma das mols de alimentação calculadas (cheque ok).
    Explicação didática: sempre checar os balanços ajuda a detectar erros de arredondamento ou de raciocínio.

Resposta

Destilado: D=454{,}545\\ \mathrm{kg/h}, n_{D}=5810{,}441\\ \mathrm{mol/h}; composição mássica: benzeno 99{,}00\%, tolueno 1{,}00\%; composição molar: benzeno 0{,}9915, tolueno 0{,}0085.
Fundo: B=545{,}455\\ \mathrm{kg/h}, n_{B}=6014{,}944\\ \mathrm{mol/h}; composição mássica: benzeno 9{,}1667\%, tolueno 90{,}8333\%; composição molar: benzeno 0{,}1064, tolueno 0{,}8936.

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