Exemplo 9.1.2 (Mudança para coordenadas polares). Calcule
em que
é o semicírculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o semicírculo definido por
e
. Ou seja:
- Região: todos os pontos
tais que e (é o semicírculo de raio acima do eixo ). - Função a integrar:
.
A tarefa é computar essa integral dupla sobre a região.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Aqui vai a intuição: a integranda depende apenas de
. Em coordenadas polares esse termo vira simplesmente
. Isso geralmente simplifica muito. Vamos então mudar para coordenadas polares usando as fórmulas de transformação:
Explicando o que é cada coisa:
-
é a distância do ponto à origem. -
é o ângulo que o vetor posição faz com o eixo .
No plano, um elemento de árease transforma em . Esse fator extra vem do “estiramento” das coordenadas polares: um pequeno retângulo em tem lados aproximadamente e , então área . Esse é o Jacobiano da transformação.
Passo 3
Descrever a região
em coordenadas polares. Como
vira
, temos
. A condição
em polares é
, ou seja
varia de
até
. Logo a região
em polares é:
Passo 4
Trocar a integral para polares substituindo
e
. A integral fica
Observe que a integranda separa naturalmente as variáveis: depende de
multiplicada por
(do Jacobiano), e o domínio em
é independente de
.
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
Fazemos a substituição usuais para integrar funções do tipo
com fator
. Seja
. Então
Quando
temos
; quando
temos
. Logo
Passo 6
Integrar
é direto. Temos
Passo 7
Voltar à integral em
. Como a integral interna deu
e isso não depende de
, a integral total é
Portanto o valor final é
.