Exemplo 9.1.2 (Mudança para coordenadas polares). Calcule \iint_{B} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y em que B é o semicírculo x^{2}+y^{2} \leq 1 y \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy
onde B é o semicírculo definido por x^{2}+y^{2}\le 1 e y\ge 0. Ou seja:
  • Região: todos os pontos (x,y) tais que \;x^{2}+y^{2}\le 1 e \;y\ge 0 (é o semicírculo de raio 1 acima do eixo x).
  • Função a integrar: \operatorname{sen}\big(x^{2}+y^{2}\big).
    A tarefa é computar essa integral dupla sobre a região B.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? Aqui vai a intuição: a integranda depende apenas de x^{2}+y^{2}. Em coordenadas polares esse termo vira simplesmente r^{2}. Isso geralmente simplifica muito. Vamos então mudar para coordenadas polares usando as fórmulas de transformação:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Explicando o que é cada coisa:
  • r é a distância do ponto (x,y) à origem.
  • \theta é o ângulo que o vetor posição faz com o eixo x.
    No plano, um elemento de área dx\,dy se transforma em r\,dr\,d\theta. Esse fator extra r vem do “estiramento” das coordenadas polares: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então área \approx r\,dr\,d\theta. Esse é o Jacobiano da transformação.

Passo 3

Descrever a região B em coordenadas polares. Como x^{2}+y^{2}\le 1 vira r^{2}\le 1, temos 0\le r\le 1. A condição y\ge 0 em polares é \sin\theta\ge 0, ou seja \theta varia de 0 até \pi. Logo a região B em polares é:
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le \pi.

Passo 4

Trocar a integral para polares substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy = r\,dr\,d\theta. A integral fica
\iint_{B} \operatorname{sen}\big(x^{2}+y^{2}\big)\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1} \operatorname{sen}\big(r^{2}\big)\, r\,dr\,d\theta.
Observe que a integranda separa naturalmente as variáveis: depende de r multiplicada por r (do Jacobiano), e o domínio em \theta é independente de r.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
\int_{r=0}^{1} r\,\operatorname{sen}\big(r^{2}\big)\,dr.
Fazemos a substituição usuais para integrar funções do tipo \operatorname{sen}(r^{2}) com fator r\,dr. Seja u = r^{2}. Então
du = 2r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr = \tfrac{1}{2}\,du.
Quando r=0 temos u=0; quando r=1 temos u=1. Logo
\int_{0}^{1} r\,\operatorname{sen}\big(r^{2}\big)\,dr = \tfrac{1}{2}\int_{u=0}^{1} \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 6

Integrar \operatorname{sen}(u) é direto. Temos
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(u)\,du = \tfrac{1}{2}\big[-\cos(u)\big]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\big(-\cos 1 - (-\cos 0)\big) = \tfrac{1}{2}\big(-\cos 1 + 1\big) = \tfrac{1}{2}\big(1-\cos 1\big).

Passo 7

Voltar à integral em \theta. Como a integral interna deu \tfrac{1}{2}\big(1-\cos 1\big) e isso não depende de \theta, a integral total é
\int_{0}^{\pi} \left[\tfrac{1}{2}\big(1-\cos 1\big)\right] d\theta = \tfrac{1}{2}\big(1-\cos 1\big)\int_{0}^{\pi} d\theta = \tfrac{1}{2}\big(1-\cos 1\big)\cdot \pi.
Portanto o valor final é \dfrac{\pi}{2}\big(1-\cos 1\big).

Resposta

\dfrac{\pi}{2}\big(1-\cos 1\big)

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