(3.5 pontos) Calcule detalhadamente
onde
é uma curva fechada, parametrizada de modo a ser percorrida uma única vez no sentido anti horário, que não passa pelos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é uma curva fechada simples percorrida uma única vez no sentido anti-horário e que não passa pelos pontos
e
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é
. - A curva
não passa por e , logo essas são as singularidades possíveis do integrando. - A orientação de
é anti-horária (sentido positivo), e é percorrida uma única vez.
A partir daqui vamos calcular a integral em função de quais dessas singularidades estão no interior de.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar o Teorema dos Resíduos (ferramenta padrão para integrais de funções meromorfas em contornos fechados). Vou explicar o teorema de forma clara: se uma função
é holomorfa numa vizinhança de uma curva fechada simples
exceto por um número finito de polos
no interior de
, então
onde
é o resíduo de
em
. A orientação anti-horária dá o sinal positivo
. Portanto precisamos:
- Identificar as singularidades e suas ordens.
- Calcular os resíduos em cada singularidade.
- Somar os resíduos das singularidades que estiverem dentro de
e multiplicar por .
Passo 3
Identificação das singularidades e suas ordens:
Escrevemos o denominador em fatorado:
Escrevemos o denominador em fatorado:
Logo as singularidades são:
-
, que é um polo de ordem (devido ao fator ); -
, que é um polo simples (ordem , devido ao fator ).
Agora vamos calcular os resíduos em cada uma.
Passo 4
Cálculo do resíduo em
(polo simples). Para um polo simples
,
No nosso caso
. Assim
Basta avaliar em
:
Calculamos
:
. Portanto
Passo 5
Cálculo do resíduo em
(polo de ordem
). Para um polo de ordem
em
a fórmula é
Aqui
e
. Então
Definimos a função
então
. Vamos calcular
passo a passo.
Primeiro calcule
por regra do quociente:
Avaliar em
:
, então
Como
, obtemos
Agora derivamos
para obter
. Para simplificar a derivação observe que, ao derivar a expressão de
com
, temos
Usando a regra do quociente (ou a forma equivalente), obtemos
Agora avalie em
. Temos
,
e já calculámos
. Logo
Calculemos numeradores e denominadores:
E
. Assim
Finalmente
Observação didática curta: uma alternativa (equivalente) seria obter a série de Taylor de
e notar que o coeficiente de
em
é exatamente o resíduo em
(pois ao dividir por
esse coeficiente vira o termo em
). Fizemos aqui a via das derivadas porque é sistemática para polos de ordem maior que 1.
Passo 6
Aplicação do Teorema dos Resíduos e conclusão. A integral é
vezes a soma dos resíduos das singularidades contidas no interior de
. Como as únicas singularidades são
e
, existem quatro possibilidades dependendo do que
encerra:
- Se
não encerrar nenhuma dessas singularidades, a soma de resíduos é e a integral é . - Se
encerrar apenas , a integral vale vezes . - Se
encerrar apenas , a integral vale vezes . - Se
encerrar ambas e , a integral vale vezes a soma .
Vou escrever explicitamente cada caso para ficar prontinho para a prova.
Resposta
Se
não encerrar
nem
:
Se
encerrar apenas
:
Se
encerrar apenas
:
Se
encerrar ambos
e
: