(3.5 pontos) Calcule detalhadamente
\oint_{C} \frac{e^{z}+1}{z^{4}+2 i z^{3}} d z,
onde C é uma curva fechada, parametrizada de modo a ser percorrida uma única vez no sentido anti horário, que não passa pelos pontos z=0 e z=-2 i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{C} \frac{e^{z}+1}{z^{4}+2 i z^{3}}\,dz,
onde C é uma curva fechada simples percorrida uma única vez no sentido anti-horário e que não passa pelos pontos z=0 e z=-2i. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é \dfrac{e^{z}+1}{z^{4}+2 i z^{3}}.
  • A curva C não passa por z=0 e z=-2i, logo essas são as singularidades possíveis do integrando.
  • A orientação de C é anti-horária (sentido positivo), e C é percorrida uma única vez.
    A partir daqui vamos calcular a integral em função de quais dessas singularidades estão no interior de C.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar o Teorema dos Resíduos (ferramenta padrão para integrais de funções meromorfas em contornos fechados). Vou explicar o teorema de forma clara: se uma função f é holomorfa numa vizinhança de uma curva fechada simples C exceto por um número finito de polos a_1,\dots,a_n no interior de C, então
\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}(f;a_k),
onde \operatorname{Res}(f;a_k) é o resíduo de f em a_k. A orientação anti-horária dá o sinal positivo 2\pi i. Portanto precisamos:
  1. Identificar as singularidades e suas ordens.
  2. Calcular os resíduos em cada singularidade.
  3. Somar os resíduos das singularidades que estiverem dentro de C e multiplicar por 2\pi i.

Passo 3

Identificação das singularidades e suas ordens:
Escrevemos o denominador em fatorado:
z^{4}+2 i z^{3} = z^{3}(z+2i).
Logo as singularidades são:
  • z=0, que é um polo de ordem 3 (devido ao fator z^3);
  • z=-2i, que é um polo simples (ordem 1, devido ao fator z+2i).
    Agora vamos calcular os resíduos em cada uma.

Passo 4

Cálculo do resíduo em z=-2i (polo simples). Para um polo simples a,
\operatorname{Res}(f;a) = \lim_{z\to a} (z-a) f(z).
No nosso caso f(z)=\dfrac{e^{z}+1}{z^{3}(z+2i)}. Assim
\operatorname{Res}\bigl(f;-2i\bigr)=\lim_{z\to -2i} (z+2i)\frac{e^{z}+1}{z^{3}(z+2i)} =\lim_{z\to -2i}\frac{e^{z}+1}{z^{3}}.
Basta avaliar em z=-2i:
\operatorname{Res}\bigl(f;-2i\bigr)=\frac{e^{-2i}+1}{(-2i)^{3}}.
Calculamos (-2i)^{3}: (-2i)^{3}=(-2)^{3}i^{3}=-8\cdot(-i)=8i. Portanto
\operatorname{Res}\bigl(f;-2i\bigr)=\frac{e^{-2i}+1}{8i}.

Passo 5

Cálculo do resíduo em z=0 (polo de ordem 3). Para um polo de ordem m em a a fórmula é
\operatorname{Res}(f;a)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\bigl[(z-a)^{m}f(z)\bigr].
Aqui m=3 e a=0. Então
\operatorname{Res}(f;0)=\frac{1}{2!}\lim_{z\to 0}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\Bigl[z^{3}\frac{e^{z}+1}{z^{3}(z+2i)}\Bigr] =\frac{1}{2}\lim_{z\to 0}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\Bigl[\frac{e^{z}+1}{z+2i}\Bigr].
Definimos a função
g(z)=\frac{e^{z}+1}{z+2i},
então \operatorname{Res}(f;0)=\dfrac{1}{2}g''(0). Vamos calcular g''(0) passo a passo.
Primeiro calcule g'(z) por regra do quociente:
g'(z)=\frac{e^{z}(z+2i)-(e^{z}+1)\cdot 1}{(z+2i)^{2}} =\frac{e^{z}z+(2i-1)e^{z}-1}{(z+2i)^{2}}.
Avaliar em z=0: e^{0}=1, então
g'(0)=\frac{0+(2i-1)\cdot 1 -1}{(2i)^{2}}=\frac{2i-2}{(2i)^{2}}.
Como (2i)^{2}=-4, obtemos
g'(0)=\frac{2i-2}{-4}=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}.
Agora derivamos g'(z) para obter g''(z). Para simplificar a derivação observe que, ao derivar a expressão de g'(z)=\dfrac{N_{1}(z)}{(z+2i)^{2}} com N_{1}(z)=e^{z}z+(2i-1)e^{z}-1, temos
N_{1}'(z)=e^{z}z+e^{z}+(2i-1)e^{z}=e^{z}(z+2i).
Usando a regra do quociente (ou a forma equivalente), obtemos
g''(z)=\frac{N_{1}'(z)(z+2i)^{2}-N_{1}(z)\cdot 2(z+2i)}{(z+2i)^{4}} =\frac{e^{z}(z+2i)^{2}-2N_{1}(z)}{(z+2i)^{3}}.
Agora avalie em z=0. Temos e^{0}=1, (z+2i)_{|z=0}=2i e já calculámos N_{1}(0)=2i-2. Logo
g''(0)=\frac{(2i)^{2}-2(2i-2)}{(2i)^{3}}.
Calculemos numeradores e denominadores:
(2i)^{2}=-4,\qquad -2(2i-2)=-4i+4,\qquad \text{portanto o numerador é } -4-4i+4=-4i.é
E (2i)^{3}=(2i)^{2}\cdot(2i)=-4\cdot 2i=-8i. Assim
g''(0)=\frac{-4i}{-8i}=\frac{1}{2}.
Finalmente
\operatorname{Res}(f;0)=\frac{1}{2}g''(0)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
Observação didática curta: uma alternativa (equivalente) seria obter a série de Taylor de g(z) e notar que o coeficiente de z^{2} em g é exatamente o resíduo em 0 (pois ao dividir por z^{3} esse coeficiente vira o termo em 1/z). Fizemos aqui a via das derivadas porque é sistemática para polos de ordem maior que 1.

Passo 6

Aplicação do Teorema dos Resíduos e conclusão. A integral é 2\pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades contidas no interior de C. Como as únicas singularidades são 0 e -2i, existem quatro possibilidades dependendo do que C encerra:
  • Se C não encerrar nenhuma dessas singularidades, a soma de resíduos é 0 e a integral é 0.
  • Se C encerrar apenas z=0, a integral vale 2\pi i vezes \operatorname{Res}(f;0)=\dfrac{1}{4}.
  • Se C encerrar apenas z=-2i, a integral vale 2\pi i vezes \operatorname{Res}\bigl(f;-2i\bigr)=\dfrac{e^{-2i}+1}{8i}.
  • Se C encerrar ambas z=0 e z=-2i, a integral vale 2\pi i vezes a soma \dfrac{1}{4}+\dfrac{e^{-2i}+1}{8i}.
Vou escrever explicitamente cada caso para ficar prontinho para a prova.

Resposta

Se C não encerrar 0 nem -2i:
0
Se C encerrar apenas 0:
2\pi i\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi i}{2}
Se C encerrar apenas -2i:
2\pi i\cdot\frac{e^{-2i}+1}{8i}=\frac{\pi}{4}\bigl(e^{-2i}+1\bigr)
Se C encerrar ambos 0 e -2i:
2\pi i\!\left(\frac{1}{4}+\frac{e^{-2i}+1}{8i}\right)

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